南京师范大学2004年硕士研究生招生入学初试试卷高等代数一、 选择题（每小题5分，共20分）1 设线性方程组的导出组为，必有( ).（A） 当有唯一解，则只有零解；（B） 有解的充要条件是有解；（C） 有非零解则有无穷多解；（D） 有非零解，则有无穷多解.2 设是数域上对称阵组成的线性空间，则dim =( ).（A）3， （B）4， （C）6， （D）9. 3按矩阵的加法和数与矩阵的乘法运算，下列集合( )构成上的线性空间.（多项选择）（A）上全体级反对称方阵的集合；（B）上全体级下三角方阵的集合；（C）上全体主对角线元素为零的级方阵的集合；（D）.4若A是欧氏空间的一个对称变换，则下面( )成立.（A） 属于同一特征值的两特征向量必正交；（B）属于不同特征值的两特征向量正交；（C）属于同一特征值的两特征向量不正交；（D）属于不同特征值的两特征向量不正交.二、（10分）设个不同的素数.证明：是无理数（）.三、（10分）设，其中是互不相同的数.(1) 由行列式定义，说明是次多项式.(2) 由行列式性质，求的根.四、（10分）设向量组的秩为，在(1)中任取个向量，证明向量组(2)的秩.五、（10分）设，而 ，若的秩分别为和，试证的秩不大于.六、（10分）设为一个阶实对称阵，且，证明：必存在实维向量，使.七、（10分）在线性空间中，1证明向量组与向量组是的两个基.3 求中向量在这两个基下的坐标的关系.八、（10分）设是一个秩为的二次型，证明：有的一个维子空间存在（其中为符号差），使对任一，有.九、（15分）设是维线性空间的线性变换，是的子空间，表示由中向量的象组成的子空间. 证明： 维（）维（）维（）.十、（15分）设是一个五阶矩阵，秩为4，初等因子为 试求的标准形.十一、（15分）证明：1）欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的.2）利用上述结果，证明有限维欧氏空间都有标准正交基.十二、（15分）用正交线性替换化下面二次型为标准形 .南京师范大学2005年硕士研究生招生入学初试试卷 高等代数1、 (15分) 计算行列式2、 (15分) 已知(1)为有理系数多项式；(2) 有公共根； (3) 在有理数域上不可约。 证明: 3、（15分）已知可由线性表示, 证明线性相关.4、（30分）已知为欧氏空间V的一组标正基，（1）证明：W是V的子空间。（2）求W的一组基及维数。（3）求W的正交补。5、（15分）计算行列式 6、（30分）用正交变换将二次型替换下面二次型为标准型：7、（30分）某实验生产线每年一月份进行熟练工也非熟练工的人数统计，然后将熟练工支持其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量，（1）求与的关系式并写成矩阵形式：；（2）验证，是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值。（3）当时，求。2006年硕士研究生招生入学初试试卷南京师范大学 高等代数3、 (20分) 求k阶若当块的初等因子、不变因子、最小多项式。4、 (20分) A为n 维线性空间V的线性变换，证明AV的维数+A的零度=n. 5、 （20分）（1）叙述艾森斯坦因（Eisenstein）判别法。（2）证明艾森斯坦因（Eisenstein）判别法。4、 （30分） 为5维欧氏空间V的一组标正基，（1）证明：W是V的子空间。（2）求W的一组基及维数。（3）求W的正交补。5、（30分）计算6、（30分）线性方程组 = = （1） 选择为自由变量解线性方程组。（2） 若为1，2，3，9的置换，求出其所有解。全区卫生系统，特别是我院在医疗服务质量逐步提高的同时，业务工作量也正在逐年同步明显增长。老百姓有病大都能够走进医院并看得起病了，老百姓“看病难”的问题正在逐步得到解决，这是一个可喜的变化。County continuation records has examined and approved the draft, spirit, believe, comprehensive Yearbook of zhuanglang already prepared draft, entered the phase of evaluation. Civil air defense work