第一章 行列式 1计算 解： . 2计算 解：方法一 . 方法二 . 3计算 解：. 4计算 解：行列式按第1列展开，有 . 5计算 解： . 6计算 解：. 7计算 解： . 8计算 解：. 9计算阶行列式 解： 10计算 解：. 11计算 解：按第一行展开 得到递推公式 由于 ，于是得容易推出 . 12证明 证： 当时，；当时，结论成立.假设时，往证时也成立 所以 . 由数学归纳法结论成立. 13计算 解：由有 所以 ，.容易得到：于是 .14计算 解：方法一 . 方法二 . 15计算 解：. 16计算 解： （1） 又 （2）（1）（2） 而时 . 17证明： 其中为右边第一个行列式中元素的代数余子式. 证： 18计算 解：因为 所以 . 19证明阶行列式 解： 20计算 解：方法一 而 时 时 . 方法二 21计算 解： 22计算 解：根据范德蒙行列式计算公式 23计算 解：行列式按第一列展开，得到 24计算 解：方法一行列式按第一列展开. 方法二当时，化为三角形行列式，即 若时，直接计算可知， 25计算 解： 26计算 解： 27计算 解：当且时， 当或时, . 28解方程组，其中 ，且互不相同. 解：解法一 因互不相同, 知 那么方程有唯一解，显然所以 . 解法二因 由克莱姆法则，方程解唯一，为 即 . 29设曲线经过点，求. 解：由题中条件知 （*） 解法一 所以，方程组（*）解唯一.由克莱姆法则 . 解法二 所以 ，. 30设为奇数阶反对称阵（即），则. 解：设的阶数为，为奇数 由，有所以 . 31设，证明：存在，使得. 证：显然在上可微又由 由罗尔定理 ，使得. 32设求. 解： 于是 33解方程 解： 所以 或. 34计算阶行列式 解： 35计算阶行列式其中 解法一：按第1行展开（或按第1列展开）得 解法二：设，对的第列乘加到第1列上去得上三角形行列式 . 36计算阶行列式 解法一：按第1行展开得到 于是 解法二：按第列展开得 反复应用递推公式得 37计算 解：将按第一行展开 上式右端的两个行列式均按最后一行展开，得 利用上述递推公式，可得 ，而 ，所以. 38计算 解法一：把行列式增加一行，增加一列变成一个与等值的阶行列式 将第1行元素分别乘加到第2行，第3行，第行上去，得 将列分别乘加到第1列上去，得上三角形行列式 解法二：将第列视为两项和，把拆成两个行列式的和，可得递推公式 在第一个行列式中，将第列分别乘以 ，依次加到和1列，第2列，第列，得三角形行列式，故 即 反复运用此递推公式得 . 39计算阶行列式 解： 40计算其中. 解：把第1行的倍分别加到，第行，得 当时，再把第列的倍加到第1列，就把化成了上三角行列式 当时，显然有，所以总有. 41计算行列式 解： 第二章 矩 阵 1求矩阵的逆 （1） 解： 则 . （2） 解： 则 . （3） 解：. 2求方阵的次幂 （1） 解： 其中：，有则 . （2） 解：用数学归纳法证明 当时，显然成立；假设当时，有，则 当时，有则结论成立. 3设，求. 解： 由于，所以 又由于 所以 4设，矩阵满足，求. 解：由于，得又由于 ，所以 ，即 . 5已知为3阶方阵满足，（1）证明可逆，并求；（2）若，求矩阵. 解：（1）由于，所以 ，即于是 ，故 可逆 且 . （2）由于，所以 ，于是 又由于 ，有于是 . 6求矩阵的秩 （1） 解：于是， （2） 解： 7设为三阶方阵且，其中，求. 解：由于，所以可逆 又由于 ，即，则于是 . 8设三阶方阵满足，其中，求. 解：由于，所以由，有,即 ,得 又由于 ，所以.于是 . 9设为阶方阵，为阶可逆阵. 证明：. 证：设，由于，则进一步，. 10设为阶方阵，证明：不存在矩阵，使.证：由第九题，知，而但.故不存在矩阵，使. 11设均为阶方阵，为中元素的代数余子式，且.证明：；当时，如果为实矩阵，则. 证：由，有，即 . 由第九题，知，即的主对角线元素的和一定是0，即而故. 进一步，由行列式展开定理，则 当时，有. 由于，又由于为实矩阵，所以，即. 12为阶非零实阵，为中元素的代数余子式，则有下列结论 （i）且； （ii）且. 证：（i）当时，有，则于是， 由于 ，因此且. 反之，若且，由于. 于是，且可逆.因此，即. （ii）当时，有，则于是， . 由于 ，因此且. 反之，若且，由于. 于是，且可逆. 因此，即. 13为阶方阵，对任意向量均有解，则对任意向量，均有惟一解. 证：由于对任意向量均有解，故，即. 而 . 即 因此，由Cramer法则，有惟一解. 14若阶方阵满足且，则. 证：由于，所以. 又由于 ，因此，.于是， 故 . 15设为阶方阵，且，则. 证：.故 16设为阶方阵，则. 证：由于 所以，. 17设均为对称阵，对任意向量，均有，则. 证：取，. 由于 ，所以. 又由于 ，所以.再取 . 由于，所以，即. 18设为阶反对称阵，证明：对任何向量，均有. 证：由于对任何向量，有为一阶方阵，因此于是，.因此，. 19设为阶反对称阵，证明：为正交阵 证：