立体几何中的向量方法(时间：45 分钟分值：100 分)一、选择题1. 2013西安名校联考若直线 l 的方向向量为 a(1 ，1，2)，平面 的法向量为u( 2,2 ，4)，则( )A. l B. lC. l D. l 与 斜交答案：B解析：因为直线 l 的方向向量 为 a(1，1,2) ，平面 的法向量 为 u( 2,2， 4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择 B.2. 如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别在A1D，AC 上，且 A1E A1D，AF AC，则( )23 13A. EF 至多与 A1D，AC 之一垂直B. EFA 1D，EFACC. EF 与 BD1 相交D. EF 与 BD1 异面答案：B解析：以 D 点为坐标原点，以 DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E( ，0， )，F( ，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，13 13 2313(1,0， 1)， (1,1,0) ，A1D AC ( ， )， (1， 1,1)，EF 1313 13 BD1 ， E 0，EF 13BD1 A1D EF AC F 从而 EFBD1，EFA1D，EFAC.故选 B.3. 若 a(2，2，2)，b(2,0,4)，则 a 与 b 的夹角的余弦值为()A. B. 48585 6985C. D. 01515答案：C解析：cosa，b .ab|a|b| 22 82325 15154. 2013皖北五校联考在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，已知 AB1，D 在棱 BB1 上，且BD1，则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角的正弦值为( )A. B. 64 64C. D. 104 104答案：A解析：取 AC 中点 E，连接 BE，则 BEAC，如图，建立空间直角坐标系 Bxyz，则 A( ，0)，D(0,0,1)，3212则 A ( ， ，1)D 32 12平面 ABC平面 AA1C1C，BEAC，BE平面 AA1C1C.B ( ，0,0)为平面 AA1C1C 的一个法向量，E 32cosA ，B ，D E 64设 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，sin|cos|A ，B | ，故 选 A.D E 645. 2013江苏模拟在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，BCA90，点 D1、F 1 分别是A1B1、A 1C1 的中点， BCCA CC 1，则 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是( )A. B. 3010 12C. D. 3015 1510答案：A解析：建立如图所示的坐标系， 设 BC1，则 A(1,0,0)，F 1( ，0,1)，B(0，1,0)，12D1( ， ，1)，12 12即 ( ，0,1)， ( ，1)AF1 12 BD1 1212cos ， .AF1 BD1 AF1 BD1 |AF1 |BD1 | 30106. 2013天津十校联考 如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD底面 ABCD，M 为底面 ABCD内的一个动点，且满足 MPMC，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为( )答案：A解析：以 D 为原点，DA、DC 所在直线分别为 x、y 轴建系如图：设 M(x，y,0)，设正方形边长为 a，则 P( ，0， a)，C(0，a,0)，则| MC| ，a2 32 x2 y a2|MP| .x a22 y2 32a2由|MP |MC|得 x2y，所以点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为直线 y x 的一部分12二、填空题7. 2013泉州模拟 如图，PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面，AB 2，E 为 PB 的中点， cos ， ，若以DP AE 33DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为_答案：(1,1,1)解析：设 PDa，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1， )，a2 (0,0，a)， (1,1， )DP AE a2由 cos ， ， a ，DP AE 33 a22 2 a24 33a 2.E 的坐 标为(1,1,1) 8. 2013佛山质检已知棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是 A1B1 的中点，求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值_答案：105解析：如图建立空间直角坐标系， (0,1,0) ，AB (1,0,1)， (0，1)AD1 AE 12设平面 ABC1D1 的法向量为 n(x，y ，z)，由 n 0 可解得 n(1,0,1)，n 0AB AD1 设直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角为 ， 则 sin .|AE n| AE |n| 1059. 2013合肥调研已知在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是_答案：43解析：如图建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，(2,0,4)，AD1 (0,2,4)，AB1 (0,0,4)，AA1 设平面 AB1D1 的法向量 为 n (x，y，z)，则Error! 即Error!解得 x2z 且 y2z，不妨设 n(2，2,1)，设点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 d，则 d .|AA1 n|n| 43三、解答题10. 2013豫西模拟已知在几何体 ABCED 中，ACB90，CE平面 ABC，平面BCED 为梯形，且 ACCEBC 4，DB 1.(1)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；(2)试探究在 DE 上是否存在点 Q，使得 AQBQ，并说明理由解：(1)由题知，CA，CB，CE 两两垂直，以 C 为原点，以 CA，CB，CE 所在直线分别为x，y，z 轴 建立空 间直角坐标系则 A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,1)，E(0,0,4)， (0，4,3)， (4,4,0)，DE AB cos ， ，DE AB 225异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值为 .225(2)设满足题设的点 Q 存在，其坐标为(0 ，m，n)，则 A (4，m，n)，B (0，m4，n)，Q Q E (0，m，n 4)，Q (0,4 m,1n) Q D AQBQ，m(m4)n 20，点 Q 在 ED 上， 存在 R(0)使得 ，EQ QD (0，m，n4)(0,4m,1n) ，m ，41 n .4 1 由得( )2 ， 41 161 22 816 0，解得 4.m ，n .165 85满 足题设 的点 Q 存在，其坐标为(0 ， ， )165 8511. 2012长郡模拟 如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F、H分别是棱 BB1、 CC1、DD 1 的中点(1)求证：BH 平面 A1EFD1；(2)求直线 AF 与平面 A1EFD1 所成的角的正弦值解：以 D 为原点建立如图所示的空 间直角坐标系，则 A(a,0,0)，B(a，a,0)，H(0,0， )，F(0，a， )，A1(a,0，a)，a2 a2E(a，a， )，D1(0,0，a)a2(1) (0 ，a， )， (a,0,0)A1E a2 D1A1 设平面 A1EFD1 的一个法向量为 n(x， y，z)则Error! ，令 z2，则 y1.n (0,1,2)又 (a，a， )BH a2 n0aa0.BH n，BH平面 A1EFD1.BH BH平面 A1EFD1.(2) (a， a， )，由(1)知 n(0,1,2)是平面 A1EFD1 的一个法向量，设直线 AF 与平AF a2面 A1EFD1 所成的角 为 ，则sin|cos ，n|AF |AF n|AF |n| .|a a|a2 a2 a24 1 4 435 4515