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13.3 数学归纳法,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,数学归纳法,知识梳理,一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取 (n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,第一个值n0,nk1,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( ),(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由nk到nk1时,项数都增加了一项.( ) (5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”,验证n1时,左边式子应为122223.( ) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n03.( ),考点自测,A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,答案,解析,当n1时,n12,,左边1a1a21aa2.,答案,解析,A.nk1时等式成立 B.nk2时等式成立 C.n2k2时等式成立 D.n2(k2)时等式成立,因为n为正偶数,nk时等式成立,,即n为第k个偶数时命题成立,,所以需假设n为下一个偶数,即nk2时等式成立.,3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3)条时,第一步检验n等于,凸n边形边数最小时是三角形,,A.1 B.2 C.3 D.0,答案,解析,故第一步检验n3.,答案,解析,等式左边是从1开始的连续自然数的和,直到n2. 故nk1时,最后一项是(k1)2,而nk时,最后一项是k2, 应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.,答案,3,4,5,n1,题型分类 深度剖析,题型一 用数学归纳法证明等式,例1 设f(n)1 (nN*).求证:f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2,nN*).,证明,当n2时,左边f(1)1,,左边右边,等式成立.,假设nk(k2,kN*)时,结论成立,即,f(1)f(2)f(k1)kf(k)1,,那么,当nk1时,,f(1)f(2)f(k1)f(k),kf(k)1f(k)(k1)f(k)k,(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1,,当nk1时结论成立.,由可知当nN*时,f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2,nN*).,用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立. (2)由nk证明nk1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法:因式分解;添拆项;配方法.,思维升华,跟踪训练1 用数学归纳法证明:,证明,左边右边,等式成立.,假设nk(k1,kN*)时,等式成立.,当nk1时,,左边右边,等式成立.,即对所有nN*,原式都成立.,例2 (2016烟台模拟)等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值;,题型二 用数学归纳法证明不等式,解答,由题意,Snbnr, 当n2时,Sn1bn1r. 所以anSnSn1bn1(b1). 由于b0且b1, 所以n2时,an是以b为公比的等比数列. 又a1br,a2b(b1),,证明,由(1)及b2知an2n1.,因此bn2n(nN*),,左式右式,所以结论成立.,假设nk(k1,kN*)时结论成立,,则当nk1时,,要证当nk1时结论成立,,所以当nk1时,结论成立.,数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)关键:由nk时命题成立证nk1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.,思维升华,跟踪训练2 若函数f(x)x22x3,定义数列xn如下:x12,xn1是过点P(4,5)、Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2xnxn13.,证明,即n1时结论成立.,假设当nk时,结论成立,即2xkxk13.,当n1时,x12,f(x1)3,Q1(2,3).,所以直线PQ1的方程为y4x11,,代入上式,令y0,,即xk1xk2,,所以2xk1xk23,,即当nk1时,结论成立.,由知对任意的正整数n,2xnxn13.,题型三 归纳猜想证明,命题点1 与函数有关的证明问题 例3 (2017绵阳质检)已知数列xn满足x1 ,xn1 ,nN*.猜想数列x2n的单调性,并证明你的结论.,解答,由x2x4x6,猜想:数列x2n是递减数列.,下面用数学归纳法证明:,当n1时,已证命题成立.,假设当nk时命题成立,即x2kx2k2,,易知xk0,那么,即x2(k1)x2(k1)2.,所以当nk1时命题也成立.,结合知,对于任何nN*命题成立.,命题点2 与数列有关的证明问题 例4 在数列an中,a12,an1ann1(2)2n(nN*,0). (1)求a2,a3,a4;,解答,a2222(2)222,,a3(222)3(2)222323,,a4(2323)4(2)233424.,(2)猜想an 的通项公式,并加以证明.,证明,由(1)可猜想数列通项公式为: an(n1)n2n. 下面用数学归纳法证明: 当n1,2,3,4时,等式显然成立, 假设当nk(k4,kN*)时等式成立, 即ak(k1)k2k, 那么当nk1时, ak1akk1(2)2k (k1)k2kk12k12k,(k1)k1k12k1 (k1)1k12k1,所以当nk1时,ak1(k1)1k12k1,猜想成立, 由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nN*,0).,命题点3 存在性问题的证明 例5 设a11,an1 b(nN*).,解答,(1)若b1,求a2,a3及数列an的通项公式;,从而(an1)2是首项为0,公差为1的等差数列,,下面用数学归纳法证明上式: 当n1时结论显然成立.,所以当nk1时结论成立.,(2)若b1,问:是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立?证明你的结论.,证明,则an1f(an).,下面用数学归纳法证明加强命题:,a2nca2n11.,假设nk时结论成立,即a2kca2k11.,再由f(x)在(,1上为减函数,,得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31,故ca2k31.,易知f(x)在(,1上为减函数,,从而cf(c)f(a2k1)f(1)a2,即1ca2k2a2.,因此a2(k1)ca2(k1)11.,先证:0an1(nN*). ,当n1时,结论显然成立.,则an1f(an).,假设nk时结论成立,即0ak1.,易知f(x)在(,1上为减函数,从而,这就是说,当nk1时结论成立. 故成立.,即0ak11.,再证:a2na2n1(nN*). ,有a2a3,即n1时成立.,由及f(x)在(,1上为减函数,得,假设nk时,结论成立,即a2ka2k1.,a2k1f(a2k)f(a2k1)a2k2,,a2(k1)f(a2k1)f(a2k2)a2(k1)1.,这就是说,当nk1时成立,,所以对一切nN*成立.,又由及f(x)在(,1上为减函数,,得f(a2n)f(a2n1),即a2n1a2n2,,(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳猜想证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,思维升华,跟踪训练3 (2015江苏)已知集合X1,2,3,Yn1,2,3,n(nN*),设Sn(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn,令f(n)表示集合Sn所含元素的个数. (1)写出f(6)的值;,解答,Y61,2,3,4,5,6,S6中的元素(a,b)满足:,若a1,则b1,2,3,4,5,6;若a2,则b1,2,4,6;,若a3,则b1,3,6.所以f(6)13.,解答,(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.,当n6时,,下面用数学归纳法证明:,假设nk(k6)时结论成立,那么nk1时,Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k1),(2,k1),(3,k1)中产生,分以下情形讨论:,()若k16t,则k6(t1)5,此时有,()若k16t1,则k6t,此时有,()若k16t2,则k6t1,此时有,()若k16t3,则k6t2,此时有,()若k16t4,则k6t3,此时有,()若k16t5,则k6t4,此时有,综上所述,结论对满足n6的自然数n均成立.,典例 (12分)数列an满足Sn2nan(nN*). (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; (2)证明(1)中的猜想.,归纳猜想证明问题,答题模板系列9,规范解答,(1)由S1a1算出a1;由anSnSn1算出a2,a3,a4,观察所得数值的特征猜出通项公式. (2)用数学归纳法证明.,答题模板,思维点拨,(1)解 当n1时,a1S12a1,a11;,当n2时,a1a2S222a2,,当n4时,a1a2a3a4S424a4,,(2)证明 当n1时,a11,结论成立. 5分,那么nk1时, 7分,假设nk(k1且kN*)时,结论成立,,ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak,2akak1,,2ak12ak. 9分,当nk1时,结论成立. 11分,返回,归纳猜想证明问题的一般步骤: 第一步:计算数列前几项或特殊情况,观察规律猜测 数列的通项或一般结论; 第二步:验证一般结论对第一个值
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