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14.2 不等式选讲,第1课时 绝对值不等式,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,(1)含绝对值的不等式|x|a的解集:,1.绝对值不等式的解法,知识梳理,(a,a),(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法: |axb|c ; |axb|c ; (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.,caxbc,axbc或axbc,2.含有绝对值的不等式的性质,(1)如果a,b是实数,则 |ab| ,当且仅当 时,等号成立. (2)如果a,b,c是实数,那么 ,当且仅当 时,等号成立.,|a|b|,|a|b|,ab0,|ac|ab|bc|,(ab)(bc)0,1.(2015山东改编)解不等式|x1|x5|2的解集.,考点自测,解答,当x1时,原不等式可化为1x(5x)2, 42,不等式恒成立,x1. 当1x5时,原不等式可化为x1(5x)2, x4,1x4, 当x5时,原不等式可化为x1(x5)2,该不等式不成立. 综上,原不等式的解集为(,4).,解答,2.若存在实数x使|xa|x1|3成立,求实数a的取值范围.,|xa|x1|(xa)(x1)|a1|, 要使|xa|x1|3有解, 可使|a1|3,3a13,2a4.,3.若不等式|2x1|x2|a2 a2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.,解答,设y|2x1|x2|,当x5;,题型分类 深度剖析,题型一 绝对值不等式的解法,例1 (2015课标全国)已知函数f(x)|x1|2|xa|,a0. (1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;,解答,当a1时, f(x)1化为|x1|2|x1|10. 当x1时,不等式化为x40,无解;,当x1时,不等式化为x20,解得1x2.,(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,解答,所以a的取值范围为(2,).,思维升华,解绝对值不等式的基本方法有: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式. (2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式. (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.,跟踪训练1 (1)解不等式|x1|x2|5的解集.,解答,当x2时,不等式等价于(x1)(x2)5,解得x3; 当2x1时,不等式等价于(x1)(x2)5,即35,无解; 当x1时,不等式等价于x1x25,解得x2. 综上,不等式的解集为x|x3或x2.,|ax2|3,1ax5.,解答,当a0时,xR,与已知条件不符;,题型二 利用绝对值不等式求最值,例2 (1)对任意x,yR,求|x1|x|y1|y1|的最小值.,解答,x,yR, |x1|x|(x1)x|1, |y1|y1|(y1)(y1)|2, |x1|x|y1|y1|123. |x1|x|y1|y1|的最小值为3.,(2)对于实数x,y,若|x1|1,|y2|1,求|x2y1|的最大值.,解答,|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25,即|x2y1|的最大值为5.,思维升华,求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种: (1)利用绝对值的几何意义; (2)利用绝对值三角不等式,即|a|b|ab|a|b|; (3)利用零点分区间法.,跟踪训练2 (1)(2016深圳模拟)若关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解,求d的取值范围.,|2 014x|2 015x|2 014x2 015x|1, 关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解时,d1.,解答,又sin y的最大值为1,,有|a2|1,解得a1,3.,解答,题型三 绝对值不等式的综合应用,例3 (2017石家庄调研)设函数f(x)|x3|x1|,xR. (1)解不等式f(x)1;,解答,函数f(x)|x3|x1|,(2)设函数g(x)|xa|4,且g(x)f(x)在x2,2上恒成立,求实数a的取值范围.,解答,函数g(x)f(x)在x2,2上恒成立,,即|xa|4|x3|x1|在x2,2上恒成立, 在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象, 如图所示.,故当x2,2时,若0a4时, 则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方, g(x)f(x)在x2,2上恒成立, 求得4a0,故所求的实数a的取值范围为4,0.,思维升华,(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决. (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.,跟踪训练3 已知函数f(x)|xa|x2|.,解答,(1)当a3时,求不等式f(x)3的解集;,当x2时,由f(x)3得2x53,解得x1; 当2x3时,f(x)3无解; 当x3时,由f(x)3得2x53,解得x4. 所以f(x)3的解集为x|x1或x4.,(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2,求a的取值范围.,解答,f(x)|x4|x4|x2|xa|. 当x1,2时,|x4|x2|xa| 4x(2x)|xa|2ax2a. 由条件得2a1且2a2,即3a0. 故满足条件的a的取值范围为3,0.,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.在实数范围内,求不等式|x2|1|1的解集.,解答,由|x2|1|1得1|x2|11,,不等式的解集为0,4.,2.不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立,求实数a的取值范围.,解答,由绝对值的几何意义知:|x4|x5|9,则log3(|x4|x5|)2,所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立,则需a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.对于任意实数a,b,已知|ab|1,|2a1|1,且恒有|4a3b2|m,求实数m的取值范围.,解答,因为|ab|1,|2a1|1,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,即|4a3b2|的最大值为6, 所以m|4a3b2|max6.,由题意,可得不等式|x3|x7|m0恒成立, 即(|x3|x7|)minm, 由于x轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4, 所以要使不等式恒成立,则m4.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.已知f(x)|x3|,g(x)|x7|m,若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,即|2xy4|a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.已知关于x的不等式|2xm|1的整数解有且仅有一个值为2,求关于x的不等式|x1|x3|m的解集.,解答,不等式的整数解为2,,再由不等式仅有一个整数解2,m4.,本题即解不等式|x1|x3|4,,当x1时,不等式等价于1x3x4,,解得x0,不等式解集为x|x0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,当1x3时,不等式等价于x13x4,,当x3时,不等式等价于x1x34,,解得x4,不等式解集为x|x4. 综上,原不等式解集为(,04,).,解得x,不等式解集为.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.已知函数f(x)|x1|2x3|. (1)在图中画出yf(x)的图象;,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,yf(x)的图象如图所示.,(2)求不等式|f(x)|1的解集.,解答,由f(x)的表达式及图象,当f(x)1时,可得x1或x3;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.已知函数f(x)|x3|x2|. (1)求不等式f(x)3的解集;,f(x)|x3|x2|3, 当x2时,有x3(x2)3,解得x2; 当x3时,x3(x2)3,解得x; 当3x2时,有2x13,解得1x2. 综上,f(x)3的解集为x|x1.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)若f(x)|a4|有解,求a的取值范围.,由绝对值不等式的性质可得, |x3|x2|(x3)(x2)|5, 则有5|x3|x2|5. 若f(x)|a4|有解,则|a4|5, 解得1a9.所以a的取值范围是1,9.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(2016全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a. (1)当a2时,求不等式f(x)6的解集;,当a2时,f(x)|2x2|2. 解不等式|2x2|26得1x3. 因此f(x)6的解集为x|1x3.,解答,(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时,f(x)g(x)3,求a的取值范围.,当xR时,f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a |1a|a,,所以当xR时,f(x)g(x)3等价于|1a|a3. 当a1时,等价于1aa3,无解. 当a1时,等价于a1a3,解得a2. 所以a的取值范围是2,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.已知函数f(x)|2x1|2xa|,g(x)x3. (1)当a2时,求不等式f(x)g(x)的解集;,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,当a2时,不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30. 设函数y|2x1|2x2|x3,,其图象如图所示,由图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0, 原不等式的解集是x|0x2.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
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