将简单的方法练到极致就是绝招！课题线性规划的常见题型及其解法答案线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致归纳起来常见的命题探究角度有：1求线性目标函数的最值2求非线性目标函数的最值3求线性规划中的参数4线性规划的实际应用 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型【母题一】已知变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y的取值范围为()A7，23 B8，23C7，8 D7，25 求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z2x3y得yx，平移直线yx知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B(2,1)，zmin22317，在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A(4,5)，zmax243523【答案】A【母题二】变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围 点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，表示点(x，y)和连线的斜率；x2y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示点(x，y)和点(3,2)的距离的平方【解析】(1)由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A由解得C(1,1)由解得B(5,2)zz的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|2z29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是：可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax816z641求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值(2)距离型：形一：如z，z，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z(xa)2(yb)2，zx2y2DxEyF，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方(3)斜率型：形如z，z，z，z，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率【提醒】注意转化的等价性及几何意义角度一：求线性目标函数的最值1(2014新课标全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A10B8C3 D2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直线y2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大故zmax2528 【答案】B2(2015高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx6y的最大值为()A3 B4C18 D40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18【答案】C3(2013高考陕西卷)若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为()A6B2C0D2【解析】如图，曲线y|x|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点(2,2)时，z取得最小值，此时z2(2)26【答案】A角度二：求非线性目标的最值4(2013高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1C D【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值为【解析】C5已知实数x，y满足则z的取值范围 【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z2的取值范围可转化为点(x，y)与(1，1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，1)与(，1)所在直线的斜率为22，点(0,0)与(1，1)所在直线的斜率为1，所以z的取值范围为(，124，)【答案】(，124，)6(2015郑州质检)设实数x，y满足不等式组则x2y2的取值范围是()A1，2 B1，4C，2 D2，4【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC的内部(含边界)，x2y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2y2的取值范围是1,4【答案】B7(2013高考北京卷)设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2xy0的距离最小，d，故最小距离为【答案】8设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域2与1关于直线3x4y90对称对于1中的任意点A与2中的任意点B，|AB|的最小值等于()A B4C D2【解析】不等式组，所表示的平面区域如图所示，解方程组，得点A(1,1)到直线3x4y90的距离d2，则|AB|的最小值为4【答案】B角度三：求线性规划中的参数9若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是()A BC D【解析】不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D当ykx过点时，所以k【解析】A10(2014高考北京卷)若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2 B2C D【解析】D作出线性约束条件的可行域当k0时，如图所示，此时可行域为y轴上方、直线xy20的右上方、直线kxy20的右下方的区域，显然此时zyx无最小值当k1时，zyx取得最小值2；当k1时，zyx取得最小值2，均不符合题意当1k0时，如图所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线zyx经过点B时，有最小值，即4k【答案】D 11(2014高考安徽卷)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A或1 B2或C2或1 D2或1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(2，2)，则zA2，zB2a，zC2a2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zAzBzC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1或a2法二：目标函数zyax可化为yaxz，令l0：yax，平移l0，则当l0AB或l0AC时符合题意，故a1或a2【答案】D 12在约束条件下，当3s5时，目标函数z3x2y的最大值的取值范围是()A6，15B7，15C6，8D7，8【解析】由得，则交点为B(4s,2s4)，y2x4与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为C(0,4)，xys与y轴的交点为C(0，s)作出当s3和s5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示(1)(2)当3s4时，可行域是四边形OABC及其内部，此时，7zmax8；当4s5时，可行域是OAC及其内部，此时，zmax8综上所述，可得目标函数z3x2y的最大值的取值范围是7，8【答案】D13(2015通化一模)设x，y满足约束条件若z的最小值为，则a的值为_【解析】1，而表示过点(x，y)与(1，1)连线的斜率，易知a0，可作出可行域，由题意知的最小值是，即mina1【答案】1角度四：线性规划的实际应用14A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元【解析】设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z300x400y画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z300x400y在点A处取得最大值，由方程组解得则zmax300340021 700故最大利润是1 700元【答案】1 70015某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润w5x6y3(100xy)2x3y300(2)约束条件为整理得目标函数为w2x3y300作出可行域如图所示：初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点A时，w有最大值由得最优解为A(50,50)，所以wmax550元所