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广东省揭阳一中、潮州金山中学2014年高三第三次模拟预测联考数学(理)试卷 本试卷共4页,21题,满分150分。考试时间为120分钟。注意事项:1、答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。3、答案一律写在答题区域内,不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效。参考公式:标准差公式:一、选择题(满分40分)1.是虚数单位,()A BCD2.命题“若=,则tan=1”的逆否命题是()A.若,则tan1 B. 若=,则tan1C. 若tan1,则 D. 若tan1,则=3.中,若,则的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定4下列四个命题中,正确的是( )A已知命题;命题则命题“”是真命题 B已知服从正态分布,且,则C设回归直线方程为,当变量x增加一个单位时,y平均增加2个单位D已知直线,,则的充要条件是 5.已知向量且,则=()A B0 CD6.在等差数列中,已知,则该数列前11项和()(A)58 (B)88 (C)143 (D)1767. 若函数图像上存在点(x,y)满足约束条件,则实数的最大值为()A B.2 C. D.18对于正实数,记M为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:且,有-(-)f()-f()(-).下列结论正确的是( )A. w B.C.若D.2、 填空题(满分30分)(一)必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答9从一堆苹果中任取5只,称得它们的质量如下(单位:克)125 124 121 123 127则该样本标准差 (克)(用数字作答)10一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .题(10)图11.如图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法若输入,则输出 (注:框图中的的赋值符号“”也可以写成“”或“:”)12过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若,则的面积为 .13非空集合关于运算满足:(1)对任意、,都有;(2)存在,使得对一切,都有,则称关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算:非负整数,为整数的加法。偶数,为整数的乘法。平面向量,为平面向量的加法。其中关于运算为“融洽集”的是 (写出所有“融洽集”的序号)(二)选做题: 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。14.如图,在中, ,过作的外接圆的切线,与外接圆交于点,则CD的长为_15. 在极坐标系中,点(2,)到直线的距离等于_.三、解答题(本大题共6小题,满分80分)16(本题满分12分)已知函数,其中常数;(I)若图像与图像交点的最小距离为,求的值;()若,将图像向右平移,向上平移1个单位得到图像,求在区间上的值域。题(17)图17(本题满分12分) 我校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的数学竞赛成绩分为6组:40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,(I)根据频率分布直方图估计我校数学竞赛成绩平均分;()我校高一(1)班有60名学生,根据频率分布直方图,从80分以上的学生中任取2名学生,记90分以上的人数为,求的分布列及数学期望。18(本小题满分14分) 如图,已知四棱锥,底面为菱形,,题(18)图平面,分别是的中点。(I)证明:;()若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。19(本小题满分14分)设直线,其中实数满足。(I)证明与相交;()求与的交点的轨迹的方程;()过点作直线(与轴不垂直)与轨迹交于两点,与轴交于点若,证明:为定值20.(本小题满分14分)设函数和函数 (I)若函数在定义域内为单调函数,求的取值范围; ()求函数的极值点; ()证明:21(本小题满分14分),数列对任何正整数n都有:(I)证明数列为等比数列;()判断数列是否是等差数列,若是请求出通项公式;若不是,说明理由()若,证明:2014年第二学期高三三模联考理科数学试题参考答案一、选择题:题号12345678答案ACCBBBDA二、填空题:9、 2 10、 11、 1007 12、 13、 14、 15、 1 三、解答题:16(本小题满分12分)解:(1)由图像与图像交点的最小距离为知最小正周期为 2分 所以 3分 得 4分(2) 若,则 5分依题意可得 7分因为所以 8分所以 10分所以 11分所以值域为 12分17(本小题满分12分)解:(1)由图可知组距为10根据频率分布直方图估计该市数学测试成绩平均分为 4分(2) 根据频率分布直方图高一(1)班80分以上的学生有人,90分以上有人 5分的所有可能取值为0,1,2 6分则,7分 , 8分, 9分所求分布列为012 10分数学期望为 12分18(本小题满分14分)解:()证明:由四边形为菱形,可得,为正三角形.因为M为的中点,所以. 2分又,因此.因为平面,平面,所以. 4分而,所以平面. 5分 xyzHE()解法一:设为上任意一点,连接、.由()可知:平面.则为与平面所成的角. 7分在中,所以当最短时,最大, 8分即当时,最大,此时因此.又,所以,于是. 9分如图建立空间直角坐标系,则,,则,,设的中点为,则,故就是面的法向量,.设平面的法向量为,二面角的平面角为.由 12分 ,二面角的余弦值为. 14分()解法二:设为上任意一点,连接、由()可知:平面.则为与平面所成的角. 7分在中,所以当最短时,最大, 8分即当时,最大,此时. 因此.又,所以,于是. 10分因为平面,平面,所以平面平面. 过作于,则由面面垂直的性质定理可知:平面,所以,过作于,连接,平面,所以则为二面角的平面角. 12分在中,又是的中点,,且在中,,又 13分在中, 即二面角的余弦值为. 14分19(本小题满分14分)证明:(I)反证法,假设是l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入,得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. 3分()设交点,满足 故知 5分代入得 整理后,得交点的轨迹的方程为 7分()依题意,直线的斜率存在,故可设直线的方程为 8分设、,则两点坐标满足方程组消去并整理,得, , 10分,即与轴不垂直,同理 12分将代入上式可得 14分20(本小题满分14分)解:(I),,1分若递增则在上恒成立,则在上恒成立,又仅当x=1时取等号, 3分若递减则在上恒成立 4分(),5分 6分当 上无极值点7分当p0时,令的变化情况如下表:x(0,)+0极大值从上表可以看出:当p0 时,有唯一的极大值点 9分()令p=1,由()知,在x=1处取得极大值,此极大值也是最大值 , 11分 12分,结论成立 14分别解:设函数,则,令,解得,则21(本小题满分14分)证明:(I) 1分 2分 所以是以为首项,为公比的等比数列。 4分()由有有 5分 6分又吻合上式, 7分 8分当时,数列是等差数列,其通项公式是; 当时,数列不是等差数列 10分()由()知时 11分即 13分 14分
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