正比例与反比例 教学目标1复习整理比和比例的有关知识，进一步理解比和比例的意义，深化理解比与分数、除法的关系，能运用比和比例的知识解决一些简单的实际问题。2能根据比、比例、比例尺、成正比例的量、成反比例的量的知识解决一些实际问题。3能找出生活中成正、反比例关系的实例，并进行交流。4渗透事物之间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力。 教学重难点【教学重点】应用比、比例、比例尺以及正、反比例的知识解决生活中的实际问题。【教学难点】正确判断实际问题中的正、反比例关系。 课前准备多媒体课件 教学过程一、谈话导入师：谁能用比的知识说一说我们班男女同学的人数情况？(指名汇报)师：今天我们就一起来整理和复习比和比例的有关知识。二、回顾与整理1(1)举例说一说什么是比，什么是比例，什么是比例尺以及它们的应用。预设生1：两个数相除又叫作两个数的比，如52，可以写成52。生2：表示两个比相等的式子叫作比例，如842412。生3：图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，如一幅地图的比例尺是1200000。比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。生4：配制农药会应用到比的知识；地图上一般都有比例尺。(2)说一说比与比例有什么区别。比比例各部分名称0.90.61.5前项后项比值基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。(3)出示教材83页“回顾与交流”2题。学生独立完成，思考比、分数、除法之间的关系，并全班交流。预设生1：除法算式中的被除数相当于分数的分子，相当于比的前项；除法算式中的除数相当于分数的分母，相当于比的后项；除号相当于分数的分数线，相当于比的比号。生2：除法算式的商相当于分数的分数值，相当于比的比值。强调：因为0不能作除数，所以所有分数的分母及比的后项都不能为0。(师引导学生整理下表)区别(意义)联系(对应部分)比(ab)表示数量间的倍比关系。前项(比号)后项比值分数(ab)表示一个数。分子(分数线)分母分数值除法ab表示一种运算。被除数(除号)除数商(4)先想一想比的基本性质是什么，再应用比的基本性质化简下面的比。301201346100.123102560.53.225563432先思考比的基本性质，然后交流，最后独立完成，集体订正。(5)复习按比例分配问题。什么是按比例分配？(把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫作按比例分配)按比例分配应用题有什么特点？预设生1：用比或者连比反映各部分数量占总数量的份数。生2：直接给出各部分数量占总数量的份数。按比例分配应用题的一般解题步骤是什么？预设生：找出或求出要分配的总数量；根据已知的比求总份数；按照要分配的各部分数量占总数量的几分之几，分别求出每一部分数量是多少。(6)完成教材83页3题。学生独立完成，然后交流订正，并说一说解决问题时都用到了哪些知识。2(1)说一说。师：我们学习了正比例和反比例的知识，请你先回忆一下，然后说一说你对这部分内容的了解。预设生1：我知道了什么是变化的量。生2：我知道了什么是正比例，什么是反比例。师：举例说明什么是变化的量。预设生：上学时，我走的路程的多少是随着时间的增加而增加的。路程和时间就是变化的量。师：如果你走的速度是一定的，那么你走的路程和时间有什么关系？生：成正比例关系。师：你能说明理由吗？生：我走的速度不变，走的路程随着时间的增加而增加，所以路程和时间成正比例关系。(2)议一议。正比例和反比例在生活中有着广泛的应用，请你想一想生活中有哪些是成正比例的量？有哪些是成反比例的量？(四人一组，互相举例说一说，并说明自己举的例子为什么是成正比例的量或者成反比例的量)(3)全班交流。师：每组举成正、反比例关系的实例各一个，其他小组注意不要重复，并把本组需要交流的问题展示出来。预设生1：买苹果时，苹果的单价一定，那么花费的总钱数和买的数量成正比例关系。如果花费的总钱数一定，苹果越便宜，买的数量就越多，苹果越贵，买的数量就越少，这时苹果的单价和数量成反比例关系。生2：一个人走一段路程，走的速度越快，需要的时间就越短，走的速度越慢，需要的时间就越长，这时，速度和时间成反比例关系。生3：圆的周长总是它直径的倍，的值是一定的，所以圆的周长和它的直径成正比例关系。生4：给一个房间铺地砖，需要地砖的块数和地砖的面积成反比例关系，地砖的面积越大，需要的块数越少，地砖的面积越小，需要的块数越多。3课件出示：一辆汽车在高速公路上行驶，速度保持在100千米/时。说一说汽车行驶的路程随时间变化的情况，并用多种方式表示这两个量之间的关系。(1)提问1：这辆汽车行驶时，哪些量发生变化？哪些量不发生变化？预设生：汽车行驶的速度不发生变化；汽车行驶的路程随时间的增加而增加，汽车行驶的路程和行驶的时间发生变化。这时，汽车行驶的路程和行驶的时间成正比例关系。(2)提问2：你能用哪些方式来表示这两个量之间的关系？预设生1：可以用列表的方式。生2：可以用式子来表示这两个量之间的关系。生3：也可以用画图的方式。(3)学生活动：学生独立解决问题。(4)学生在小组内交流，将自己的疑问记录下来。教师巡视，并对有困难的学生和小组进行个别指导。(5)全班交流。提问1：表格中汽车行驶2时的路程是200千米，对应的是图中的哪个点？行驶3时的路程是多少？对应的是图中的哪个点？(教师提问，指名汇报，集体寻找图中的对应点)提问2：每增加1时，路程的变化在表格中如何看出？在图中如何看出？(学生指着表格和图进行说明)提问3：用式子怎样把这两个量之间的关系表示出来？(指名汇报)提问4：每增加1时，路程的变化在式子中是如何看出的？请对应表格和图进行说明。(指名汇报)(6)判断路程与时间是否成正比例关系，并说一说你是怎么想的。(生自由交流)4找出正比例和反比例的区别与联系。通过回顾与交流，你能找出成正比例的量和成反比例的量有什么相同点和不同点吗？先在小组内交流，然后全班交流。课件出示下表，引导学生思考正比例、反比例的区别与联系。联系区别变化规律关系式正比例两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化。两个量中的比值(商)一定。yxk(一定)反比例两个量的积一定。xyk(一定)预设相同点：生1：都有两个相关联的量，这两个量中一个量随着另一个量的变化而变化。不同点：生2：成正比例的两个量，一个量随着另一个量的增加(减少)而增加(减少)；成反比例的两个量，一个量随着另一个量的增加(减少)而减少(增加)。生3：成正比例的两个量的比值(商)是一定的，成反比例的两个量的积是一定的。5应用正、反比例知识解决问题。提问：应用正、反比例知识解决问题的关键和步骤是什么？(1)关键：正确判断成正比例还是成反比例是解决比例应用题的关键。(2)步骤：分析数量关系，判断成什么比例。找等量关系。如果成正比例，按“等比”找等量关系；如果成反比例，按“等积”找等量关系。列比例式。设未知数为x，并带入等量关系式，得到正比例关系式或反比例关系式。解比例。检验并写出答语。三、典型例题解析1课件出示例1(教材84页3题)。分析本题考查的是学生对比例尺知识的掌握情况。(1)先动手量出教材84页艺术小学平面图的长和宽，根据“实际距离图上距离比例尺”求出实际的长和宽，再用长方形的面积计算公式求出艺术小学的实际占地面积。通过测量，图上长为14 cm，图上宽为5 cm，那么实际长为141200028000(cm)280(m)，实际宽为51200010000(cm)100(m)，实际占地面积是28010028000(m2)。(2)第一问：先测量出操场的图上边长，根据“实际距离图上距离比例尺”求出操场的实际边长，再用正方形的周长计算公式求操场的实际周长。通过测量，操场的图上边长为3 cm，那么实际边长为3120006000(cm)60(m)，绕操场跑一圈大约是604240(m)。第二问：先测量出花坛的图上半径，再求出实际半径，用圆的面积计算公式求花坛的实际占地面积。通过测量，花坛的图上半径为1 cm，那么实际半径为1120002000(cm)20(m)，花坛的占地面积20203.141256(m2)。(3)先求出教学楼的实际占地面积，再运用“教学楼的实际占地面积学校的实际占地面积”或“教学楼的图上面积学校的图上面积”解决问题，教学楼的实际占地面积是4200 m2，42002800015%。解答(1)14528000(2)2401256(3)4200152课件出示例2。一辆汽车从甲城开往乙城，3时行驶180千米，用这样的速度再行驶2.4时到达乙城。甲、乙两城相距多少千米？分析根据题意可以知道汽车行驶的速度一定，即速度(一定)。所以汽车行驶的路程和所用的时间成正比例。汽车从甲城开往乙城用了(32.4)时。解答解：设甲、乙两城相距x千米。 1803x3+2.4x324答：甲、乙两城相距324千米。3课件出示例3。硬糖每千克6.8元，软糖每千克11.6元，现要求把硬糖和软糖放在一起制成混合糖，混合糖的价格为每千克8.6元。求硬糖和软糖应取怎样的质量比才合适。分析对硬糖来说，混合后每千克提高了8.66.81.8(元)，对软糖来说，混合后降低了11.68.63(元)，而提高的总价钱应等于降低的总价钱，所以软糖的质量3硬糖的质量1.8。解答8.66.81.8(元)11.68.63(元)硬糖质量软糖质量31.853答：硬糖和软糖应取53的质量比才合适。四、探究活动1课件出示探究题。甲数的45等于乙数的34，甲、乙两数的比是()。2提出探究要求。小组合作，探究解题思路和解题过程，看哪组解法最多。3交流、汇报。(小组代表发言，其他人补充)预设1组：根据题意，可列出下面的等式：甲数45乙数34方法一根据比例的基本性质解答。由两个外项的积等于两个内项的积，可以得到甲数乙数34451516。方法二用设数法解答。设乙数为16，则甲数451634，甲数124515，所以甲数乙数1516。2组：方法一根据乘法各部分之间的关系解答。把乙数34看作一个整体，它是甲数45的积，则甲数乙数3445乙数3454乙数1516，也就是甲数是乙数的，所以甲数乙数1516。方法二根据倒数知识解答。假设等号左右两边的结果都为1，则甲数451，甲数54，乙数341，乙数43，所以甲数乙数54431516。4小结。解答此类题可以灵活运用比例的基本性质、设数法等。五、课堂总结通过本节课的学习，你有什么收获？六、布置作业教材84页1、4、5题。板书设计正比例与反比