第十六届北京市数学竞赛试题答案（甲、乙组）一、 填空（20分）1，且，则.解 由，得，利用方程，得，得.2，为无穷间断点，为可去间断点，则.解 3. 则.解 .4. 则.解 5. 则.解 其中,得,得得.6.解 .7. 则解 8. 则解 9.,周长为,则解 10.设或则级数的和为_.解 =.二、存在，且求.解 问题：可能是设连续，积分才有意义。三、，作图形并指出去单调区间，最值，极值，拐点.解 单调增加。，极小值=单调减少。没有拐点.为极大值，并且为最大值。四、，求.解 ,得.=.注意:上面表示必须.所以题设有一点问题.五、求常数的值，使函数在点处在轴正向的方向导数有最大值64.解 即在，有.得.六、是原点到上点处的切平面的距离，计算.七、在上连续且单调增加，证明不等式.证 方法1 自变量变换（利用定积分定义或在上作变量变换.）方法2 函数变换.方法3 与等价,不仿设,得.方法4 设,.当,可以用逼近或用定积分定义证明. 方法5 八、证明方程有且仅有三个实根.证 记.,所以存在至少三个零点，不可能有三个以上零点。九、（1）举例说明存在通项趋于零但发散的交错级数(2). 举例说明存在收敛的正项级数,但.解 （1）(2) 1: =,得2:丙组题目多数一样或接近。不一样的题目有一、78七、设生产某产品必须投入三种要素，分别是三种要素的投入量，为产量，为正数，三种要素的价格分别是，当产量一定时，三种要素的适当投入可使总费用最小。证明最小投入总费用与产量比为常数，并且求此常数.解 利用Lagrange方法，求在条件下的最小值。得.八、当有，证明当时，级数收敛，并求和函数.注意:可去掉.解 当时，级数收敛。.记,得得得.农村精神文明建设是新农村建设的重要任务，是全面建设小康社会的重要内容。根据市文明委相关文件精神要求，现就在全镇范围内深入开展以“乡风文明”和“村容整洁”为主题的“四创”活动of rural drinking water sources, protection of drinking water sources in rural areas by the end of the delimitation of the scope of protection, complete with warning signs, isolating network protection facilities