第十四讲：2013年高考概率与统计命题热点研讨（2）主讲人：孟老师第三部分：热点模拟演练下面我们对2013年高考进行一个小小的预测.同学们要注意的是，近年来的高考对概率和统计的分界线越来越不明显了.高考理科偏重于考察二项分布、超几何分布，文科侧重于考察线性回归直线方程、独立性检验、茎叶图、频率分布直方图等方面，这是同学们应该注意的.孟老师大胆猜题点1随机抽样1（孟老师模拟举例）某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是_解析：所抽取的990户普通家庭中有50户拥有3套或3套以上住房，所抽取的100户高收入家庭中有70户拥有3套或3套以上住房，那么99 000户普通家庭中就有5 000户拥有3套或3套以上住房，1 000户高收入家庭中就有700户拥有3套或3套以上住房那么该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例为5.7%.答案：5.7%2（孟老师模拟举例）为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本解：随机地将这1003个个体编号为1，2，3，1003利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行说明：总体中的每个个体被剔除的概率相等()，也就是每个个体不被剔除的概率相等采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是3（2008年广东B卷）（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的分布列为：621-20.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，即，解得所以三等品率最多为4（2009年天津卷）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_名学生.【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题.解析：C专业的学生有，由分层抽样原理，应抽取名.5（2011年四川卷）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5) 2 15.5,19.5) 4 19.5，235) 9 23.5,27.5) 18 27.5，31.5) 1l 31.5，35.5) 12 35.539.5) 7 39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在31.5，43.5)的概率约是(A) (B) (C) （D）答案：B解析：从到共有22，所以.孟老师大题猜题点2特征数的计算1（孟老师模拟举例）一组数据的标准差为s，将这组数据中每一个数据都扩大到原来的2倍，所得到的一组数据的方差是A.B4s2 C2s2 Ds2解析：每个数据都扩大到原来的2倍，则也扩大到2s2(x1)2(x2)2(xn)2s2(2x12)2(2x22)2(2xn2)24s2.答案：B2(2011北京西城区高三二模)某次测试成绩满分为150分，设n名学生的得分分别为a1，a2，an(aiN,1in)，bk(1k150)为n名学生中得分至少为k分的人数记M为n名学生的平均成绩，则AM BMCM DM解析：依题意得，这n名学生的成绩中，得1分的人数为b1b2；得2分的人数为b2b3；得3分的人数为b3b4；得148分的人数为b148b149；得149分的人数为b149b150；得150分的人数为b150，因此在这次测试中所有的学生总成绩为(b1b2)2(b2b3)3(b3b4)148(b148b149)149(b149b150)150b150b1b2b3b148b149b150，M，选A.答案：A孟老师大胆猜题点3：古典概型1(2012蚌埠第一次质检)锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为A. B. C. D.解析：由已知可得P.答案：B2（2012年湖南卷）（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得的分布为 X11.522.53PX的数学期望为.（）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则.由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55知从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.3（孟老师模拟举例）9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率解：9个队分成甲、乙、丙三组有CCC种等可能的结果（1）三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有CCC种分法故三个组各有一个亚洲国家队的结果有ACCC种，所求概率P（A）=答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是（2）事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，所求概率为1=答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是4(2011北京海淀区高三抽测)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为A. B. C. D.解析：记其中被污损的数字为x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是(80290389210)90，乙的五次综合测评的平均成绩是(803902337x9)(442x)令90(442x)，由此解得x8，即x的可能取值是07，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为，选C.答案：C孟老师大胆猜题点4：几何概型1(2012北京海淀区模拟)在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为_解析：根据几何概型得所求的概率为P.答案：2(2012山东高考预测)若在区间5,5内随机地取出一个数a，则1x|2x2axa20的概率为_解析：因为1x|2x2axa20，所以a2a20，1a2，故所求概率为P.答案：孟老师大胆预测点5：互斥、对立事件的概率1（2009年天津卷）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件，求：（） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.（）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望（）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为+=2（2011年四川卷）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.（）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望.解析：（1）所付费用相同即为元.设付0元为，付2元为，付4元为则所付费用相同的概率为(2)设甲，乙两个所付的费用之和为，可为分布列农村精神文明建设是新农村建设的重要任务，是全面建设小康社会的重要内容。根据市文明委相关文件精神要求，现就在全镇范围内深入开展以“乡风文明”和“村容整洁”为主题的“四创”活