1.6 绝对误差和相对误差,定义1.5.1 设某一个准确值（称为真值）为 x ,*,其近似值为 x * , 则 (x)xx,(1.5.1),称为近似值 x * 的“绝对误差”，简称“误差”。 当(x) 0 时，称为亏近似值或弱近似值，反之 则称为盈近似值或强近似值。 由于真值往往是未知或无法知道的，因此，(x)的 准确值（真值）也就无法求出。但一般可估计绝对误差 的上限，即可以求出一个正值，使,( x ) x x * ,（1.5.2）,称为近似x * 值 x* 的“绝对误差限”，简称“误差限”，或称“精度”。,(1.5.3),有时也用 x x * ,来表示（1.5.2）式，这时等式右端的两个数值 x * 和 x *代表了 x 所在范围的上、下限。 越小，表示该x* 近似值 x * 的精度越高。 用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。 这说明要评价一个近似值的精确度，除了要看其 绝对误差的大小外，还必须考虑该量本身的大小， 这就需要引进相对误差的概念。,定义1.5.2 绝对误差与真值之比，即,x x,(x),x x*,r (x) ,(1.5.4),称为近似值 x * 的“相对误差”。 显然，相对误差与绝对误差的相互关系式为：,(x) xr (x),(1.5.5),相对误差不仅能表示出绝对误差，而且在估计近 似值运算结果的误差时，它比绝对误差更能反映 出误差的特性。因此在误差分析中，相对误差比 绝对误差更为重要。,因为(x) 和 x 均无法准确求得。相对误差也是无法准确求出。 和绝对误差一样，可以估计它的大小范围，即可以,找到一个正数，使,r,( x) ,(1.5.6),称为近似值 x * 的“相对误差限”。 相对误差是个纯数字，它没有量纲。 真值 x 总是无法知道的，因此，在实际计算中常用,r,x*,* ( x) ( x),(1.5.7),作为相对误差的近似值。,试比较一下*(x) 与(x) 之间的相差究竟有多大？ r r,r r,1,xx *,x x *,x x *, ( x ) * ( x ) (x) (x) (x)( 1 1 ),*,xx*, x,xx*,x (x) 1 (x)2,r r,(x(x)2 x (x) 2,2,r,x,(x),1 x x x *,1,r,(x)2,x* ,1(x), r ,1,r,一般r (x)很小，不会超过 0 .5，这样 1 ( x ) 不大于2。,(x) *(x) 2(x)2 (x) r r r r 因此，上式右端是一高阶小量，可以忽略。,r,r,故用*(x) 来代替(x) 。,相对误差也可用百分数来表示： 这时称它为百分误差。,*,r,x*,(x),(x) ,100%,1.5 绝对误差和相对误差,弹幕问题： 1. 绝对误差能计算出其精确值吗？ （否） 2. 绝对误差与相对误差哪个更好地刻画误差的特性？ （相对误差）,