随机过程王凤雨著北京师范大学出版社致致致 谢谢谢i摘摘摘 要要要ii目 录致致致谢谢谢i摘摘摘要要要iiAbstract(英英英文文文摘摘摘要要要)iii综综综述述述vi第第第一一一章章章一一一般般般理理理论论论11.1基本概念 .11.2可分性和可测性.11.3轨道的连续性与阶梯性 .31.3.1轨道的连续性.31.3.2轨道的阶梯性.5第第第二二二章章章经经经典典典鞅鞅鞅论论论82.1基本概念与性质.82.2鞅不等式 (离散时间) .122.3收敛定理 (离散时间) .132.3.1上穿不等式与收敛定理.142.3.2负时间情形收敛定理.162.4上鞅分解定理 (离散时间).182.5连续时间鞅的收敛定理与停止定理.202.5.1上鞅不等式与轨道性质.202.5.2收敛定理与停止定理.232.6连续时间上鞅分解定理 .262.7独立增量过程.302.7.1概念与一般结果 .302.7.2Brown 运动 .342.7.3Poisson 过程 .36iv2.8练习.37第第第三三三章章章马马马氏氏氏过过过程程程393.1基本概念与存在性定理 .393.2马氏半群与生成元 .433.3马氏过程的鞅问题 .513.4强马氏过程 .543.5练习.55第第第四四四章章章随随随机机机微微微分分分方方方程程程与与与扩扩扩散散散过过过程程程574.1It o 随机积分 .574.2It o 公式 (随机微分的链式法则).604.3随机微分方程与扩散过程.614.3.1解的存在唯一性 .614.3.2多维情形.644.3.3生成元与 Stratonovich 微分 (或 Fish-Stratonovich 微分) .654.4Dirichlet 问题.674.4.1调和函数.674.4.2Dirichlet 热方程 .684.4.3Poisson 问题 .694.5时间变换与 Girsanov 变换.714.5.1时间变换 .714.5.2Girsanov 变换(变概率测度) .71v综综综 述述述vi第一章一般理论1.1基本概念直观意义: 随机过程描述某空间上粒子的随机运动.定义 1.1.1设 (,F,P) 为完备概率空间, (E,E) 为可测空间. T 为一个指标集.t T,t: E 为可测映射, 则称 T:= t: t T 以 T 为指标集的 E 上的随机过程. 当指标集给定时, 如不引起误解, 也简记为t或.建立模型(构造过程)的基本方法: 首先在概率空间中观测某随机变量随时间演化过程, 估计出有限维分布(ET0上的概率测度, T0 T),再由Kolomogorov 和谐定理确定整体分布 (ET上的概率测度), 最后定义概率空间(,F,P) := (ET,F,)与随机过程t() := (t).以后总假设 T 为时间参数指标集 (离散 T = 0,1,2, 连续 t = 0,) ).定理 1.1.1(Kolomogorov) 设 E 为Polish 空间, E 为Borel -代数, T0:T0 T 为一族和谐的概率测度, 则存在 E 上随机过程 t: t T 使 T0 T,T0的分布为 T0; 即: A ET0,P(T0 A) = T0(A).证明由 Kolomogorov 和谐定理知, 存在 ET上的唯一概率测度 使, T0 T,(A ETT0) = T0(A),A FT0.令 = ET, A = ET, P = , t() := t, . 则 t: t T 满足要求.1.2可分性和可测性问题: 考察过程在 0,t0 时间段所走多远, 即考察 := supt0,t0(t,0), 但通常这不是随机变量, 不可测. 但如果有某种可分性使得 可表成 suptS(t,0), S 可数, 从而 可测.定义 1.2.1如果存在 T 的可数子集 S 及零测集 N 使 t T,rn S 使limnrn= t,limnrn() = t(), / N,则称过程T关于S可分, 称 S 为可分集,N 为例外集. 如果T关于T的任何稠子集可分,则称之为完全可分的.1下面的例子表明, 可分性是过程的轨道性质而非分布性质; 即具有相同分布的随机过程未必同时具有可分的性.例 1.2.1设(,A ,P) = (R,B,N(0,1), A 为 0,) 上的一个不可测集. 令t=1t,当 t A;0,当 t / A.则 : t 0,) 为 R 上随机过程, 且 supt0,)t() = 1A不可测, 从而t不可分. 另一方面, 令t= 0,t 0,),则 t=ta.s.(t T), 从而由Kolomogorov 和谐定理, 两个过程同分布. 但t是可分的.问题: 任给随机过程, 能否找到同分布的可分随机过程?定义 1.2.2设与是两个随机. 如果t T 都有t=ta.s., 则称他们是互为修正的(或等价的).当 E 为Polish 空间时, 由Kolmogorov 定理知互为修正的过程必同分布.定理 1.2.1(Doob修修修正正正定定定理理理) 设 E 为Polish 空间, 则任何随机过程均存在可分修正.本本本书书书从从从现现现在在在起起起约约约定定定: E 为Polish 空间, 随机过程可分.命题 1.2.1设 T可分, F为闭集,则 := inft 0 : t/ F可测.证明设S为可分集, s S. 有 s = t F : t s = t F : t 0 有limtsP(|t s| ) = 0,则称过程 T为随机连续的,2命题 1.2.2可随机连续的分随机过程必完全可分.证明练习.定义 1.2.4设B(T) 为T 上的Borel -代数, B(T) F 为B(T)F 关于dtP的完全化. 如果T: T E 是B(T) F-可测的, 则称随机过程T为可测的.命题 1.2.3轨道右连续 (即a.s. 右连续)的过程必可测.证明令(n)t:= hn(t),hn(t) :=Xi=1i2n1i12n,i2n)(t)则 hn(t) t 从而 (n) (dt P-a.e.). 故只需证 (n)可测. A E(t,) : (n)t() A =Xi=1i 12n,i2n) i2n A B(T) F.1.3轨道的连续性与阶梯性本节的目标是用过程的分布特征来刻画轨道性质.1.3.1轨道的连续性定义 1.3.1如果随机过程 T的轨道是几乎必然连续, 即存在零测集N使得任给 / , ()为T上的连续函数, 则称其为轨道连续的.设 0,)为随机过程, 显然有0,)轨道连续 0,n轨道连续,n 1.因此我们只需考虑 T 为有界闭区间情形.引理 1.3.1设T 为有界闭区间, S 为 T的可分集. 如 / N,() 在 S 上一致连续, 则也在 T 上一致连续.证明仅需证在 T 上连续. 设存在 / N, 0 及 tn t 使(tn(),t() ,n 1.(1.3.1)由在S上的一致连续性, 存在 0, 对所有s1,s2 S 使得|s1 s2| , 都有3(s1(),s2() 2.取 tn0使 |tn0 t| 4.再由可分性, 取 s1,s2 S 使 |s1 t| + |s2 tn0| 4且(s1(),t() + (s2(),tn0() 2, 则 |s1 s2| 从而 (s1(),s2() 2. 由三角不等式得 |t() tn0()| 0, 0 及 c 0 使得E(t,s) c|t s|1+,s,t T,(1.3.2)则的轨道连续.证明不妨设 T = 0,1. 则由(1.3.2)P(t,s) r) E(t s)rcr|t s|1+.从而过程随机连续, 故完全可分. 取可数稠子集S = i2n: n 1,0 i 2n.由引理1.3.1, 只需证过程在 S 上一致连续. 对 (0,), 有Pmax0j2n1(j+12n,j2n) 2n2n1Xj=0P(j+12n,j2n) 2n c2n2n1Xj=02n(1+)= c2n(),令 An:= max0j2n1(j+12n,j2n) 2n, 所以有Xn=0P(An) .由Borel-Cantelli引理, P(Sn=1Tm=nAcm) = 1. 则 N := Sn=1Tm=nAcmc为零测集.任给 Nc,存在n0 1 使max0j2n1(j+12n,j2n)() 2nn n0.(1.3.3)n n0及 0 j 2n 1,s j2n,j+12n) S, s 必可表成s =j2n+a12n+1+ +am2n+m4其中 m 1,a1, ,am= 0 或 1. (事实上, 由于 s S, 必有 l n + 1 及 0 i 2l使 s =i2l, 而 s j2n, 得 i j2ln.又由于 s j+12n蕴涵i (j + 1)2ln.由二进制表示: i j2ln=Pmk=1ak2k,ak 0,1, 所以有 s =j2n+Pmk=1ak2lk). 令si=j2n+Pik=1ak2n+k,0 i m. 由于 s 0, 取n1 n0使得(1+c)en14. 如果存在r,s S 使得|rs| 2n1,那么存在 i 0 使得r,s i2n1,(i + 1)2n1),或r s (i + 1)2n1.对于前一种情况由(1.3.4) 可得(r,s)() (r,i2n0)() + (i2n0,s)() 2.而对于后一种情况由(1.3.4) 可得(r,s)() (rs,i2n0)() + (i2n0,(i+1)2n0)() + (rs,(i+1)2n0)() .因此任给 / N, () 在 S 上一致连续.1.3.2轨道的阶梯性定义 1.3.2设 X为 a,b 上取值 E 的函数. 如存在分割 a = t0 t1 tn= b 使(i) X|a,t1),X|(tn1,b, 以及X|(ti,ti+1)为常值, i = 1, ,n 2;(ii) Xti与 Xti+存在且不相等, i = 1, ,n 1;(iii) Xt= Xti或 Xti+,i = 1, ,n 1.则称 X为 a,b 上的E-值阶梯函数, 称 ti(i = 1,2, ,n 1) 为跳跃点.定义 1.3.3如果X : 0,) E限制在任何有限区间上是阶梯的, 则称X为0,)上的E-值阶梯函数.任给 0,b 的分割 U := u0 u1 un, 用 h(U) 表示集合0essiessn 1 :Xui6= Xui+1 的元素个数. 记 h = supUh(U).5引理 1.3.2设 S 为过程 0,b)的可分集, N 为例外集. h() 由函数 () 确定. 则h() = supUSh(U,), / N.证明显然.引理 1.3.3设 0,b关于 S1及 S2可分, N 为公共的例外集, 如 S1 S2= 且h() 0 使 X:= () 在 (t 1,t) 0,b 中为常值. 否则在该区间上X有无穷多个不同的函数值, 这与 h() 0 使得X在 (t,t+2)0,b 上为常值. 令 t:= 12. 由有限覆盖定理知, 存在0 t1 tn b 使 X在 (titi,ti)0,b 和 (ti,ti+ti)0,b 上分别为常值且Sni=1(ti ti,ti+ ti) 0,b. 令t0= 0, 我们有 X在 (ti,ti+1) 上为常值且Xti与 Xti+存在, i = 0,1, ,n. 如 Xti= Xti+, 则把 ti从分点中去掉, 最后找出一列点 0 = t01 0存在c 0使得 满足P(t/ s) c|t s|,t,s 0,b,(1.3.5)则 的轨道为阶梯的.证明易见 (1.3.5) 蕴涵过程的随机连续性, 从而 完全可分. 任取 b 0 及0,b 的可列稠子集 S := r0,r1, ,rn, 令 Un:= r0,r1, ,rn = r00,r01, ,r0n.则 h() = supUS1h(U,) = limnh(Un,). 由引理1.3.3 及完全可分性, 只需证Eh . 令i() :=1,如r0i() 6= r0i+1(),0,否则,n 1 i 0.由(1.3.5) 我们有Eh(Un) =n1Xi=0Ei=n1Xi=0P(r0i6= r0i+1) cn1Xi=0(r0i+1 r0i) c(b a).易见 h(Un,) 关于 n 单增, 故 h 可测且 Eh = limnEh(Un) ) = 0, 0.2. 证明命题1.2.2.7第二章经典鞅论2.1基本概念与性质鞅论发端于赌博, 是用来刻画赌博 (或投机) 规则是否公平的数学模型. 鞅论成为随机分析理论的核心内容, 不仅是沟通概率论与纯数学 (如泛函分析、(偏、常) 微分方程、几何分析等) 的重要桥梁，也发展成为数学物理和诸多应用学科 (特别是保险、金融等领域) 的主要研究工具之一。本章假设 (,F,P) 为完备概率空间, E = R (一般地，可为 Banach 格空间).定义 2.1.1设 Ft,t T 为 F 的子 - 代数族. 如果对于任意 t s, 有Fs Ft, 则称 Ft,t T 为一个 - 流, 简记成 Ft. 记 F= (StTFt).为简单计, 我们总是假设 Ft为完备的.定义 2.1.2如果对于任意 t s 都有 Xt Ft, 则称过程 Xt为 Ft- 适应的.定义 2.1.3设 Xt为一个可积的随机过程, 如果它是适应的且任给 t s, 有E(Xt|Fs) = Xs( Xs, Xs)a.s.则称 Xt为 Ft- 鞅 (上鞅, 下鞅).直观上, 设 Xt为 t 时刻某赌徒的资本, 如 Xt为鞅则意味着赌博规则对该赌徒而言是公平的. 下面是一种赌博规则:设 Xn为 n 次赌博后的赌金, X0为原始赌本. 设n=(1,如第 n 次赢,1,如第 n 次输.其中 n体现赌徒的水准, 假设它们独立同分布 (即赌徒的水准不受环境和以前输赢情况的影响 他的心理素质极高！)，但第 n 次下的赌注与前 n 1 次的成绩有关 (如赢的多可能多下注，否则可能少下), 故可记第 n 次的赌注为 bn(0,1, ,n1). 令Fn:= (X0, ,Xn), 那么Xn= X0+nXk=1kbk(0,1, ,n1) = Xn1+ bn(0,1, ,n1)n.从而E(Xn|Fn1) = Xn1+ E(b(0,1, ,n1)n|Fn1) = Xn1+ b(0,1, ,n1)En.8当 En= 0 时 Xn为鞅, 当 En 0 时 Xn为下鞅, 当 En s, 由于 Xt 为下鞅且 f 单增, 有f(Xs) f(E(Xt|Fs).再由 Jensen 不等式知f(E(Xt|Fs) E(f(Xt)|Fs).从而 f(Xs) E(f(Xt)|Fs).推论 2.1.1(1) 设 Xt为下鞅. 如果 Xtlog+Xt可积, 则 X+t,Xtlog+Xt也为下鞅.(2) 设 Xt 为鞅或非负下鞅, 1. 若对于任意的 t,E|Xt| 0, 有A t = t A Ft.所以 A为停时. 对于任意 B FA, 由于(B A) t = (B A) A t = B A t Ft,所以 B A F A. 因此FA A F A.同理有 FA A F A.10问题:现将时间指标集合 T 扩大为有限停时全体 T , 过程也做自然延拓, 由定理2.1.2 知, 适应性仍保持. 进一步地, 是否鞅 (上鞅) 性质也保持?下面定理对于离散时间有界停时情形给出肯定回答. 一般情形留待连续时间情形讨论.定理 2.1.4(Doob 停停停止止止定定定理理理) 设 T = Z+, Xn 为鞅 ( 或上鞅 ), , 为两个有界停时且 . 则 E(X|F) = X( X)a.s.证明仅证上鞅的情形. 设 n, 则maxE(|X|),E(|X|) XknE|X| k(Xk Xk+1)dP=nXi=1nXk=0ZA(+i1)=k(+i)k(Xk E(Xk+1|Fk)dP 0.其中第三个等式基于 A ( + i 1) = k ( + i) k Fk. 因此E(X|F) X.推论 2.1.2设 Xn为上鞅, 为停时, 则E|Xk| EX0+ 2EXk,E|X1| 3supnE|Xn|.证明由于 Xn为下鞅, 由 Doob 停止定理 (定理 2.1.4) 知E|Xk| = EXk+ 2EXk EX0+ 2EXk.令 k 得E|X1 0, 有:(1) P(supnkXn ) EX0RsupnkXnXkdP EX0+ EXk;(2) P(infnkXn ) RinfnkXn(Xk)dP EXk;(3) P(supnk|Xn| ) EX0+ 2EXk.证明由于 supnk|Xn| = supnkXn infnkXn , 我们只需证 (1) 和 (2). 令 := infn 0 : Xn k, 则 为有界停时. 由停止定理 2.1.4知EX0 EX=ZsupnkXnXdP +ZsupnkXnXkdP P(supnkXn ) +ZsupnkXnXdP P(infnkXn ) + EXk1infnkXn.因此 (2) 成立.命题 2.2.1(Kolmogorov 不不不等等等式式式) 设 Xn为鞅或非负下鞅. 若存在 p 1 使得E|Xn|p 0,P(supnk|Xn| ) 1pE|Xk|p.一般地, 对于 0,) 上非负严格增的凸连续函数 使得 E(Xn) , 有P(supnk|Xn| ) 1()E(|Xk|).证明易见 (|Xn|) 为上鞅。由定理 2.2.1(2) 知()P(infnk(|Xn|) () Zinfnk(|Xn|)()(|Xk|)dP E(|Xk|).12由上面的概率估计结合 Fubini 定理可得最大值的矩估计.定理 2.2.2(Doob 不等式) 设 Xn为非负下鞅, 令 X:= supnXn, 则有EXee 1(1 + supnE(Xnlog+Xn),kXkp:= (E|X|p)1/ppp 1supnkXnkp.证明令 Xk:= supnkXn, 设 为连续增函数满足 (0) = 0. 定义 (a,b) :=(b) (a), 则 是 (0,) 上局部有限测度. 由 Fubini 定理E(Xk) =Z(Z01Xk(d)dP =Z0P(Xk )(d)Z0(1ZXkXkdP)(d) = EXkZXk0(d).(2.2.1)下面分别取特殊的 来证明所求的不等式.(a) 在 (2.2.1) 中令 () = ( 1)+使得 (d) = 11,)()d, 并使用 Youngs 不等式得E(Xk 1) E(Xk 1)+ EXklog+Xk EXklog+Xk+Xke.所以EXkee 11 + supnE(Xnlog+Xn).令 k 得证第一个不等式.(b) 在 (2.2.1) 中令 () = p, 则 (d) = d() = pp1d 且E(Xk)ppp 1E(Xk(Xk)p1) q|Xk|p |Xk|p/qp.为证第二式, 只要考虑 supn|Xn|p 情形. 此时有 |Xk|pPnk|Xn|p 1. 则ksupn|Xn|kppp 1supnkXnkp.证明留意 |Xn| 为非负下鞅.2.3收敛定理 (离散时间)为将 Doob 停止定理推广到一般停时，需在无穷时刻引入随机变量 X, 而该随机变量的自然选取是 Xn的极限. 为此，本节研究上鞅的收敛定理. 为了在增加 X后保持上鞅 (或鞅) 的性质, 我们通常需要 Xn的一致可积性以便使用控制收敛定理.132.3.1上穿不等式与收敛定理为了使用可验证的矩条件来刻画 Xn 的收敛性, 我们考虑过程穿过某个区间的次数. 直观上，一个序列收敛 (包括极限为正、负无穷) 当且仅当他仅穿越任给区间有限次.现假设 a,b 为一闭区间, 为考察过程 Xn穿过 a,b 的次数，定义0= infn 0 : Xn a1= infn 0: Xn b2k= infn 2k1: Xn a2k+1= infn 2k: Xn b.则 k 为上升的停时序列. 如 2k1() , 则 Xn() : n 2k1() 恰上穿区间k 次. 用 Uk(a,b)() 表示 Xn() : n k 上穿区间的次数. 则Uk(a,b) = j = 2j1 k 2k+1 Fk.从而 Uk(a,b) 为 Fk- 可测的随机变量.定理 2.3.1(上上上鞅鞅鞅上上上穿穿穿不不不等等等式式式) 设 Xn 为上鞅, 则 N 1,k 1, 有P(UN(a,b) k + 1) 1b aE(XN a)1UN=k.从而EUN(a,b) 1b aE(XN a).证明设 Xn为上鞅, 则 N 1,k 1, 有0 E(X2k+1N X2kN)= E(X2k+1N X2kN)(12kN2k+1+ 1N2k+1) E(XN a)12kN2k+1+ (b a)1N2k+1.由于UN k + 1 = N 2k+1,2k N 2k+1 UN= k,所以0 E(XN a)1UN=k+ (b a)P(UN k + 1).14定理 2.3.2(下下下鞅鞅鞅上上上穿穿穿不不不等等等式式式) 设 Xn为下鞅, 则 N 1,k 1, 有P(UN k) 1b aE(XN a)+1UN=kEUN1b aE(XN a)+.证明练习.定理 2.3.3设 Xn为上鞅, 如果 supnEXn , 则存在可积的随机变量 X使得 Xna.s. X. 若进一步有 Xn 0, 则 n 0, E(X|Fn) Xn.证明设 a,b Q,a b. 则 U(a,b) := limNUN(a,b) 为 Xn 上穿 a,b 的次数. 由定理 2.3.1 知EU 1b asupNE(XN a)1b asupN(|a| + EXN) 则 U a.s. 令Na,b:= limnXn b,N = ab,a,bQNa,b,则 Na,b U(a,b) = + 为零测集, 故 N 也为零测集, 而且 / N, X() :=limnXn() 存在. 对 N, 令 X() := 0. 则 Xna.s. X. 且由 Fatou 引理知E|X| limnE|Xn| . 最后, 如果 Xn 0, 则再由 Fatou 引理得E(X|Fn) limnE(Xm|Fn) Xn.定理 2.3.4设 Xn 为一致可积上鞅(鞅), 则存在可积的随机变量 X使得Xna.s.L1 X, 且 n 0 有 E(X|Fn) (=)Xn.证明由于 Xn 一致可积, 则 supnE|Xn| , 从而由定理 2.3.3 Xna.s. X.再由一致可积性得 XnL1 X. 从而 Xn E(Xm|Fn)L1 E(X|Fn).命题 2.3.1Xn 为一致可积鞅的充分必要条件是存在可积的随机变量 X使Xn= E(X|Fn). 此时, Xn E(X|F).证明练习.定理 2.3.5设 n 为随机变量列, 如n a.s. 且存在可积随机变量使得supn1|n| , 则E(n|Fn)a.s.L1 E(|F).15证明由上命题 2.3.1 知 E(|Fn)a.s.L1 E(|F). 而E|E(n )|Fn)| E|n | 0,从而 E(n|Fn)L1 E(|F). 另一方面, n m, 有E(infkmk|Fn) E(n|Fn) E(supkmk|Fn).因此E(infkmk|F) limnE(m|Fn) limnE(n|Fn) E(supkmk|F).令 m , 由控制收敛定理得 limnE(n|Fn) = E(|F) a.s.2.3.2负时间情形收敛定理在本节一开始我们已强调了过程一致可积的重要性. 为验证这一性质, 我们引入负时间上鞅. 为以后讨论连续时间时的方便, 我们考虑一般情形. 直观上, 假如上鞅 Xt已经被延拓到 , 我们把无穷远时刻看成 0 时刻, t 时刻看成 t1时刻, 就可归结为下面的负时间上鞅. 由于在负时间上鞅情形 X0的可测性最弱, 其变化的自由度大于过程在其它时刻的变化自由度, 所以结合上鞅性质我们可以由 X0的可积性得到整个过程的一致可积性.设 Ftt0为一列子单调上升的 - 域, Xt(t 0) 为 Ft- 适应过程, 如果E(Xt|Fs) = Xs( Xs),s t 0,则称 Xt为负时间 Ft- 鞅 (或上鞅).命题 2.3.2负时间上鞅 Xn(n 0) 如满足 limnEXn , 则必一致可积.如果Xt为连续时间的负时间上鞅，使得limtEXt. 由假设知 A 0, 存在 k0 1, 当 k k0时有A EXk 0 及 n cXndP = EXnZXncXndP EXnZXncXk0dP= EXn EXk0+ZXncXk0dP因为 A EXn EXk0, 由 (2.3.1) 有 E(Xn Xk0) /2,n c) 1cEXn A/c.故当 n k0时, 任给 c1 0 有ZXncXk0dP =ZXnc,Xk0c,Xk0c1Xk0dP c1A/c +ZXk0c1Xk0dP.取 c1 0 使RXk0c1Xk0dP /4, 再取 c 0 使 c1A/c /4, 我们得到ZXncXndP 0 使得supt0E(|Xt|1|Xt|n) 0,n 1.所以，任给 n 1, 有tn:= inft 0 : E(Xt1Xtn) 0 0.易见 tn 单调下降.(i) 如果任给n有tn= ，则存在sn 使得E(Xsn1Xsnn) 0,n 1.(2.3.2)而由于 Xsn为负时间上鞅且期望有界, 由 (1) 知其一致可积性, 从而矛盾!(ii) 否则存在n0 1与N 1使得tn: n n0 N,0. 从而存在单调序列sn s N,0使得(2.3.2)成立. 如果sn单调下降或存在sn= s,则与负时间结论矛盾故假设sn s . 因此，由上鞅性，170 EXsn1Xsnn EXsn EXs1Xsn 0成立。令N 得出矛盾！定理 2.3.6设 XnnZ为负时间上鞅, 若 limnEXn , 则 Xn 一致可积且存在可积的随机变量 X使得 Xna.s.L1 X(n ).证明设 UN表 示 XN, ,X1,X0 上 穿 区 间 a,b 的 次 数.令 yn:=XnN,n = 0, ,N. 则 y0, ,yN = XN, ,X1,X0 关于Fn:= FnN为一段上鞅. 由上鞅上穿不等式 (定理 2.3.1) 知EUN1b aE(yN a)=1b aE(X0 a).令 U := limNUN, 我们有 EU 1baE(X0 a) .(3) 若 Xn 0, 并且具有 Riesz 分解, 则分解的鞅部分 Mn为非负鞅.(4) 若 Xn 一致可积, 则有 XnL1 X. 令Mn= E(X|Fn), Yn= Xn Mn, 则Xn= Mn+ Yn为 Riesz 分解.证明(1) 设 Xn= Mn+ Zn= M0n+ Z0n为两个 Riesz 分解, 则 Mn M0n为鞅且Mn M0n= Zn Z0nL1 0, 故E|Mn M0n| = E|E(Mm M0m|Fn)| E|Mm M0m| 0(m ).因此 Mn= M0n, 从而分解唯一.19(2) 必要性显然, 仅证充分性. 令 Xn= M0n An为 Doob 分解, 则 EAtFs, Ft=WstFs:=(SstFs). F0= F0,F= F. 如果 t 0,Ft= Ft+, 则称 Ft 称为是右连续流. 显然 Ft+t0是右连续流.2.5.1上鞅不等式与轨道性质设 Xt 为适应过程, K 为 0,) 的有限集, K = t1 t2 tn. 记 UK为Xt1, ,Xtn 上穿区间 a,b 的次数. D 0,), 令 UD= supUK: K D. 如果 D = t1,t2, , 为可数集, 令 Kn= t1, ,tn, 则 UD= limnUKn.定理 2.5.1设 Xt 为一上鞅, 则 0 r s,a 0, 有P( suptr,s|Xt| ) EXr+ 2EXs,EUr,s1b aE(Xs a).证明设 D 为过程的可分集, 包含 r,s (否则把这两点加进去). 显然UDr,s= Ur,s,supDr,s|X| = supr,s|X|,a.s.(2.5.1)20记 D r,s = t1,t2, ,tn, 令 Kn:= t1,t2, ,tn = t01 t02 t0n, 则由离散时间的最大不等式并注意 Xt为上鞅, Xt为下鞅, 我们得到P( sup1in|Xti| ) EXt01+ 2EXt0n EXr+ 2EXs,EUKn1b aE(Xs a).令 n 并结合 (2.5.1), 我们完成了定理的证明.定理 2.5.2设 Xt 为上鞅, 则对于几乎所有的 ,t 0, 有limst+Xs()与limstXs()存在且有限.证明仅证左极限的存在有限性. 设 t 0,a b R. 令Nt,a,b= sups0,t|Xs| = 或 U0,t= .则 Nt,a,b Ft且由定理 2.5.1 知 P(Nt,a,b) = 0. 令Nt:=ab,a,bQNt,a,b,N :=t0Nt=n=1Nn.则 P(N) = 0,Nt N(t ). 今证 / N, limstXs() 存在且有限.事实上, 任给 / N, 取sn t以及s0n t使得a := limnXsn() = limstXs()b := limnXs0n() = limstXs()均有限. 如 a b, 则 r1 0,Xt() = limstXs().(3) t 0, 有 Xt E(Xt|Ft)(Xt= E(Xt|Ft).21证明(1) 令 N 如上. 如果 / N, 则任给t 0, limst+Xs() 存在且有限. 令Xt() =limst+Xs(), / N,0,其他.则Xt Ft+, 且 / N,Xt() 为右连续的, 满足Xt() = limst+Xs(). 由定理2.5.2, 为证 (1), 只需证 Xt 为Ft+-上鞅 (鞅).我们仅考虑上鞅情形.设 s t R+, 令 sn( t) s+,tn t+. 则 A Fs+, 有RAXsndP RAXtndP. 由于supnEXsn,supnEXtn 0, 存在 s0 t 使 s s0,t 有|Xs() Xt()| /2,| Xs()| 1.证明设 D 为可分集, 则 X= suptDXta.s. 令 Dn= t1, ,tn D(n ),Xn:= suptDnXt. 由离散时间的 Doob 不等式, 有EXnee 1(1 + suptiDnE(Xtilog+Xti) ee 1(1 + suptDE(Xtlog+Xt),kXnkp q suptiDnkXtikp q suptDkXtkp.令 n 得证.2.5.2收敛定理与停止定理由上穿不等式, 下面两个收敛定理的证明与离散时间相同.定理 2.5.6设 Xt为上鞅, 如果 suptEXt ( suptE|Xt| 1, 如果 supt0E|Xt|p , 则当t 时 Xta.s.L1 X, 且 kXkp= supt0EkXtkp.(2) 设 为可积的随机变量, Ft 为右连 - 流, t为鞅 E(|Ft) 的左极右连修正,则当 t 时 ta.s.L1 E(|F).证明由定理 2.5.6 与 2.5.7, 只需证明 kXkp= supt0EkXtkp. q (1,p),|Xt|qt0一致可积, 则 |Xt|qa.s.L1 |X|q.又由于 |Xt|q为下鞅, 所以 kXkq=supt0EkXtkq supt0EkXtkp. 令 q p 得 kXkp supt0EkXtkp. 此外, 由于kXkq kXtkq, 令 q p 得 kXkp kXtkp,t 0. 因此 kXkp= supt0EkXtkp.由离散时间逼近, 容易对又连续鞅和有界停时建立停止定理.23引理 2.5.1设 Xt为右连续鞅 (上鞅), , 为两个有界停时, 且 , 则 X,X可积且 E(X|F) = X( X) a.s.证明只证上鞅情形. 不妨设 N. 对 n 1, 令 Dn:= 0,12n,12n, ,N,且n:=2nNXk=1k2n1k12nk2n,n:=2nNXk=1k2n1k12n 0,limtXt() =X(),() t0由引理 2.5.1,E(Xt|Ft0) = Xt0.(2.5.2)由 Xt 一致可积性及控制收敛定理, n t 有Xt= limnE(Xn|Ft) = E(X|Ft).所以 Xt 也是右闭鞅, 从而一致可积. 由控制收敛定理, 在 (2.5.2) 中先令 t 再令 t0 得 E(X|F) = X.(b) 设 Xt 为右闭上鞅. 令 Yt:= E(X|Fs), 则 Zt= Xt Yt为非负上鞅, 从而存在可积随机变量Z 0, 当t 时Zt Z 0时a.s.且E(Z|Ft) Zt,t 0.则X= Z+ Y Z1=. 由引理 2.5.1 及 (a), t0 0 有E(X|Ft0) = Yt0+ E(Z|Ft0) E(Z1=|Ft0) Yt0+ E(limtZt Z1=|Ft0) Yt0+ limtE(Zt|Ft0) E(Z1=|Ft0) Yt0+ Zt0 E(Z1=|Ft0).令 t0 得 E(X|F) X.(c) 最后, 易证 112 F2从而 112 F2. 事实上, 取一列离散时间停时n 使得 n 1. 由于 n取有限或可数值, 我们有n 2 2 t = stn= s,s 2 t Ft,t 0.所以1 2 = nn 2 F2.因此, 由 (a) 或 (b),E(X1|F2) = E(X12112|F2) + E(X12112|F2)= (或 )X12112+ X12112= X12.推论 2.5.4设 Xt 为右连上鞅, 则对任意一宽停时 (即关于 Ft+为停时) 有E(|X|1 0,25E(|Xt0|1 , 且分解唯一.(2) 如果 Xt 非负且有 Riesz 分解, 则 Mt 也非负.(3) 若 Xt 一致可积, 则 XtL1 X(t ). 此时 Riesz 分解中的鞅 Mt 为E(X|Ft) 的右连续的修正.证明唯一性由离散时间的相应结果和轨道的右连续性得到. 只证 (1) 的充分性, 余者由下面 Mt的构造立得. 令 Mt,s:= E(Xt+s|Ft),t,s 0. 则 s r 有Mt,s= E(E(Xt+s|Ft+r)|Ft) E(Xt+r|Ft) = Mt,r.令 Mt:= limnMt,n, 我们有Mt Mt,0= Xt. 由单调收敛定理知, t s 有E(Mt|Fs) = limnE(Mt,n|Fs) = limnE(Ms+n+ts|Fs) = limnMs,n+ts= Ms,即 Mt为鞅. 由于 Ft 右连续, Mt存在右连续修正, 仍记成 Mt. 令 Zt:= XtMt, 由Mt之定义知 Zt为非负右连续上鞅且EZt= limnE(Xt Mt,n) = limnE(Xt Xt+n) = EXt limsEXst 0.为研究 Doob-Meyer 分解, 先给出可料 (可选) 的概念.26定义 2.6.1称 R+上由全体左极右连适应过程所产生的 - 代数为可选 -代数, 由左连续适应过程全体所产生的 - 代数称为可料 - 代数. 一个过程如果关于可选 (可料) - 代数可测, 则称为可选的 (可料的).命题 2.6.1关于由所有适应过程生成的 代数A 可测的过程是可测过程. 特别地, 可选或可料的过程为适应过程.(2) 任何左极右连过程为可选的, 左连续过程为可料的.证明仅证 (1) 中关于A 可测过程的适应性.只要证明 t 0, A A ,有 A 在 t 处的截集 At Ft. 首先易证 At:= A R+: At Ft 为 -代数, 而对于任意适应过程 Xt有 (,s) : Xs() rt= Xt r Ft, 从而At (,s) : Xs() r : r R,X为适应过程. 所以 At A .命题 2.6.2可料 - 代数 = 连续适应过程. 从而可料过程也是可选的.证明设 R := 0 F0: F0 F0S(s,t F : 0 s t,F Fs. 只需证:(1) R 连续适应过程 =:A ;(2) 任何左连续过程都是 (R)- 可测的.(1) 的证明: 设 n(u) 为连续函数使得, n 10. 则 X(n)t:= n(t)1F0为连续适应过程, 而且 X(n)t() 10F0(t,), 从而 0 F0A . 另外, 0 s t 及 F Fs,令 n 为连续函数序列使得 n|0,s= 0, n 1(s,t. 令 X(n)t() = n(t)1F(), 则X(n)t 为连续适应过程且 X(n)t 1(s,tF. 从而 (s,t F A .(2) 的证明: 对任意左连续过程 Xt, 令X(n)t() =X0(),t = 0Xk2n(),k2n t (k + 1)2n,k 0.所以 X(n)t 为适应过程, 且 X(n) X(n ). 而 B B(R),X(n)1(B) = (0 X10(B)k=0(k2n,k + 12n X1k2n(B) R,所以有 X (R), 即 X (R) A .定义 2.6.2如果过程 At 的所有轨道为非负右连续增函数, 则称 At 为增过程. 如果增过程 At 使得 A:= limtAt是可积的, 则称之为可积增过程. 两个增过程之差叫做有限变差过程.27定义 2.6.3设 T 为停时全体. 如果可测过程Xt使得 X1 0, F 上的测度Qt:= ( (0,t)关于 P 绝对连续. 此时, 产生 的可积增过程是唯一的.证明必要性与唯一性 (留意轨道右连续) 是显然的, 仅证明充分性. 令At:=dQtdP,t 0. 则A0= 0 且任给 t s,AtAsa.s. 为构造增过程, 需使得轨道右连续化.为此, 令At:= infAr: r t,r Q,t 0.则 At为 (右连续) 增过程且由测度的连续性, A0= 0. 任给 t 0 及 Q 3 ri t+, 有Ari Ata.s. 由控制收敛定理,E|AtAt| = limiE(AriAt) = limi( (t,ri) = 0.从而 At为At的修正. 故对于 H := F (r,t,F F,0 s t 有A(H) := EZ01H(,s)dAs= E(At As)1F= E(AtAs)1F= (F (r,t) = (H).28因此, = A.为确保产生 的可积增过程为可料的, 我们引入可料测度的概念.定义 2.6.5设 为随机时间使得,) := (,t) 0,) : t (),)为可料集合 (即属于可料 - 代数 P), 则称 为可料时.命题 2.6.3设 Ft右连续. 任给非负可测过程 X 使得对每个可料时 有X1在 F上 - 可积(在某可数分割上可积), 都存在唯一的可料过程pX使得对每个可料时 E(X1|F) =pX1,其中F:= F0_(A t : A Ft,t 0) = (A t : A Ft,t 0)为 前 - 代数.证明(概要, 详见 HWY; 定理 5.2) 唯一性基于如下事实: 如果 X,Y 为两个可料过程使得pX=pYa.s. 对所有有限可料时 成立, 则pX =pY a.s. 为证明存在性, 由可测函数的构造及控制收敛定理, 无妨设 X = 1(r,s, 其中 为可积随机变量,0 r s. 令 Yt为鞅 E(|Ft) 的右连左极修正, 则pXt:= Yt1(r,s即为所求.定义 2.6.6称命题 2.6.3 中的过程pX 为 X 的可料投影. 如果 F B(0,)上的有限测度 使得任给非负有界可测过程 X 都有 (X) = (pX), 则称 为可料测度.定理 2.6.2(Doob-Meyer 分分分解解解) 设 F右连，Xt为右连续类 (D) 上鞅, 则可唯一分解成:Xt= Mt At,其中 Mt 为右连续一致可积鞅, At 为零初值的可料可积增过程.证明(概要, 详见 HWY; 第 5 章) 唯一性显然 (由离散时间的唯一性). 存在有限可料测度使得( 0) = 0,(Fs (s,t) = E1Fs(Zs E(Zt|Fs),s t,Fs Fs.29则产生的右连增过程At为可料的，且Mt:= Xt+ At为鞅. 这里仅证明Mt的鞅性质. 设s t,F Fs. 由于E1F(At As) = (F (s,t) = E1F(Zs (Zt|Fs),我们有E(Zt+ At)1F= (Z t + As)1F+ E(At As)1F= E(Zs+ As)1F.因此, E(Mt|Fs) = Ms.推论 2.6.1设Xt为右连续上鞅使得任给n 1 有supt0,nE|Xt|log+|Xt| ,则 Xt存在唯一的 Doob-Meyer 分解.证明由假设与Doob不等式, 过程 Xnt为右连续类 (D) 上鞅, 从而存在 Doob-Meyer 分解 M(n)t A(n)t. 则由每个Xtn分解的唯一性， At:=Pn1A(n)t1n1,n)(t) 为所求分解中的可积可料增过程.2.7独立增量过程本节讨论一类简单而重要的随机过程 L evy 过程. 它们本身虽然未必是鞅, 但却是鞅的简单函数. 我们还介绍两个特殊的 L evy 过程 Brown 运动和 Poisson 过程, 它们分别是扩散 (轨道连续) 过程和跳 (轨道间断) 过程的最基本模型和研究基础, 大量(马氏) 随机过程可以通过它们构造.2.7.1概念与一般结果定义 2.7.1(1) 如果 s s1,t2 s2使得 t1 s1= t2 s2, Xt1 Xs1与 Xt2 Xs2同分布, 则称随机过程 Xt有平稳增量.(2) 如果 Xt为适应过程使得 s t,Xt Xs与 Fs 独立, 则称 Xt为独立增量过程.(3) 称具有平稳增量的独立增量过程为齐次独立增量过程.(4) 称随机连续的独立增量过程为 L evy 过程.显然, 如果 Xt为独立增量过程, 则 0 t0 t1 tn,Xt0,Xt1Xs1, ,Xtn Xsn相互独立.30为将 L evy 过程 Xt 化为鞅, 首先要将它变为可积过程. 为此, 令 s,t(r) :=Eeir(XtXs)为 XtXs(t s) 的特征函数, 由随机连续性知 s,t(r) 为 (s,t,r) 的连续函数. 由独立增量性t0,t1(r)t1,t2(r) = t0,t2(r),t0 t1,t0 t1 t2.(2.7.1)引理 2.7.1设 Xt 为 L evy 过程, 则 r R,s s. 如 t0 , 则由 (2.7.1)0 = s,t0(r) = s,t(r)t,t0(r),t (s,t0).由于 t (s,t0), s,t(r) 6= 0, 从而 t,t0(r) = 0. 令 t t0得 t0,t0(r) = 0, 不可能.定理 2.7.1设 Xt 为 L evy 过程, 令Zs,t(r) :=1s,t(r)expir(Xt Xs),则 s 0,r R, Zs,t(r)ts为 Ftts- 鞅.证明设 s t0 t, 有E(Zs,t(r)|Ft0) =1s,t(r)expir(Xt0 Xs) E(eir(XtXt0)|Ft)= eir(Xt0Xs)t0,t(r)s,t(r)= Zs,t0(r).定理 2.7.2设 Xt 为独立增量过程, 且 t 0,E|Xt| . 令 mt:= EXt, 则Xt mt 为鞅. 如果进一步地 dt:= D(Xt) , 则 (Xt mt)2 dt 也为鞅.证明由于 Xt Xs(s t) 与 Fs独立, 则E(Xt Xs|Fs) = EXt EXs= mt ms,从而 Xt mt为鞅. 设 dt , 令Xt:= Xt mt. 则 s s), 从而 yt 关于F+s 为独立增量过程.定理 2.7.4(修修修正正正定定定理理理)每个 L evy 过程具有适应的左极右连修正, 其修正也为 L evy 过程.证明由练习 11 可设 Ft 为右连续的. 为了使用鞅的修正定理, 我们要把过程变为一致可积的. 而函数 r(x) := eirx仅在一个周期上是可逆的, 因而不方便由Z0,t(r) 的左极右连修正解出 Xt的左极右连修正. 所以我们分段确定Xt的左极右连修正. 显然, 只要对与每个m 1, 证明Xt在0,m上有左极右连修正.由定理 2.7.1,过程的随机连续性和鞅的修正定理, 任给n 1, 过程(n)(t) :=eiXt/n具有左极右连修正(n)(t). 所以, 在n:=n : supt0,m|Xt()| n2o32上, Xtt0,m有左极右连修正X(n)t:= 11/n(n)t),t 0,m.为构造整体修正, 需要证明N := n1cn为零测集. 为此, 只要证明Psupt0,m|Xt| 0 使得当 |s t| ,s,t m 时P(|Xs Xt| 1) 2n,n 1.(2.7.5)另外, 取 Rn 0 使得max0im/nP(|Xin| Rn) 2n.(2.7.6)结合 (2.7.5) 与 (2.7.6) 得supt0,mP(|Xt| Rn+ 1) 21n,n 0.(2.7.7)设 Ql:= 0 = t0 t1 0,P(maxtQl|Xt| Rn+ 1 + b) = P(max0kl|0+ + k| Rn+ 1 + b)11 21nP(|0+ + l| b) =11 21nP(|Xtl| b).令 b := Rn+ 1 并使用 (2.7.7) 得P(maxtQl|Xt| 2Rn+ 2) 21n1 21n,n 2.先令 l 再令 n 并使用完全可分性即得 (2.7.4).由 (2.7.4) 知(令0= )33Xt:=Xn11nn1X(n)t,t 0,m是Xtt0,m的左极右连修正.从从从此此此约约约定定定: L evy 过程为左极右连的.2.7.2Brown 运动定义 2.7.2如果随机过程 Wt 满足(1) W0= 0(有时对初值不加限制);(2) Wt 为独立增量过程;(3) s 0;则称之为 Brown 运动 (或 Wiener 过程). 特别地, 当 = 1 时, 称作标准 Wiener 过程(或标准 Brown 运动).易见 Wiener 过程是齐次 L evy 过程且为鞅. 我们称所有有限维分布都是正态分布的过程为 Gauss 过程 (或正态过程). 由于正态随机变量的独立性等价于不相关性, 我们有下面判断 Gauss 过程为 Wiener 过程的判别法则.命题 2.7.1Wiener 过程是 Gauss 过程. 反之, 设 Xt 为 Gauss 过程, 如果EXt= 0,EXtXs= 2(t s),t,s 0, 则它关于自然 - 流是 Wiener 过程.定理 2.7.5Wiener 过程 Wt 的轨道连续.证明由于 Wt+h Wt N(0,2h),h 0,t 0, 则 E|Wt+h Wt|4= 34h2. 由样本函数的连续性定理 (定理 1.3.1) 知轨道连续.定理 2.7.6设 Wt 为 Wiener 过程, 则 t 0,p 1 有Sn:=2nXj=1(Wj2nt Wj12nt)2a.s.Lp 2t.证明由于Xn=1P(|Sn ESn| 1n) Xn=1n2D(Sn) =Xn=14t2n22n1 ,由 Borel-Cantelli- 引理知 Sna.s. 收敛于 2t. 另外易证 Sn 的 Lp一致可积性, 从而SnLp 2t.34推论 2.7.1Brown 运动的轨道在任何有限区间上都不是有限变差的.证明考虑区间 0,t. 由定理 2.7.5 和定理 2.7.6, 存在零测集 N 使得 / N,W.() 连续且 Sn() 2t. 所以当 n 时, n() := supj|Wj2nt Wj+12nt| 0 且2nXj=1|Wj2nt() Wj12nt()| 1n()2nXj=1|Wj2nt() Wj12nt()|2=1n()Sn() .定理 2.7.7Brown 运 动 的 轨 道 处 处 不 可 微, 即 N:=: s0 使 X.() 在 s 处可微 为零测集.证明只需证 N1:= : s 0,1) 使 X.() 在 s 处可微 为零测集, 这是因为 n 1,Nn:= : s n,n + 1) 0 使 X.() 在 s 处可微= : s 0,1) 0 使 Xn+.() Xn() 在 s 处可微和 N1有相同的概率. 若 X.() 在 某 s 0,1) 处可微, 则 m 1 及 l 1 使 当|t s| 1m时有 |Xt() Xs()| l|t s|. 对于 n 4m, 令 i := ns + 1( n). 则对于 j = i + 1,i + 2,i + 3, 有 |jn s|,|j1n s| 1m. 因此,|Xjn() Xj1n()| |Xjn() Xs()| + |Xj1n() Xs()| l|jn s| + l|j 1n s| 7ln.(2.7.8)令 Ain,l:= : (2.7.8)对于 j = i+1,i+2,i+3 成立, 则 N1 l1,m1n4minAin,l.而当 n 时P(inAin,l) n max1inP(Ain,l) = n max1inP|Xi+1n Xin| 7ln3= n?Z7ln7lneny2/2p2/ndy3 n?14lnn23= c(l)n1/2 0,我们有 P(N1) = 0.定理 2.7.8Brown 运动存在且分布唯一.证明令 := R0,),F := B0,),t1 t2 tn, At1 Atn Bn,令35Pt1,tn(At1 Atn) :=ZAt1N(0,2t1)(dx1)ZAt2N(x1,2(t2 t1)(dx2)ZAtnN(xtn1,2(tn tn1)(dxn).容易验证 Pt1,tn: n 1,t1 tn 的和谐性. 由 Kolmogorov 定理 1.1.1, 存在随机过程 Wt以 Pt1,tn: n 1,t1 tn 为有限维分布. 由于这些分布是Gauss 分布, 而且对于 s tEWtWs:=ZR2xyPs,t(dx,dy) =ZxN(0,2s)dx ZyN(x,2(t s)dy=Zx2N(0,2s)dx = 2s,由命题 2.7.1 知 Wt是 Brown 运动. 另外, 由定义知 Brown 运动的有限维分布必为如上的 Pt1,tn: n 1,t1 0, Nt 为随机过程. 如果(1) N0= 0;(2) Nt 为独立增量过程;(3) s 0) 的 Poisson 分布;则称之为参数 (或速率) 是 ( 0) 的 Poisson 过程.定理 2.7.9设 Nt 为 Poisson 过程, 则它有左极右连修正, 其轨道是只取非负整数值的单增的阶梯函数, 每次跳跃只增加 1.证明由于 Nt 为 L evy 过程, 从而具有左极右连修正. 另外, 易见 t s, 有P(Nt6= Ns) =Xn=1P(Nt Ns= n) = 1 et (t s).则由定理 1.3.2 知过程的轨道为阶梯的. 单增性显然.令 An:= : t (0,n) 使 Nt Nt 2. 由轨道的单增性, An m=1n2mj=1Nj2m Nj12m 2. 从而存在常数 c 0 使得P(An) n2mXj=1P(Nj2m Nj12m 2) =n2mXj=1(1 e/2m 2me/2m) cn2m.令 m 得 P(An) = 0. 从而 P(A) = 0, 即以概率 1 每次跳跃只增加 1.36约约约定定定: 总假设 Poisson 过程为左极右连, 轨道阶梯单增, 每次跳跃只增加 1.定理 2.7.10设 Nt 是参数为 Poisson 过程, 令 n:= inft 0 : Nt= n,n 1, 则:(1) n 1, n为有限停时;(2) 1服从参数为 的指数分布;(3) 随机变量序列 n n1n0独立同分布.证明 t 0, n 1, 有 n t = Nt n Ft, 所以 n为停时. 又因为limtP(n t) = limtn1Xj=0(t)jj!et= 0,所以 n 0. 即 1服从参数为 的指数分布.任给 n 1, 令 yt:= Nn+t Nn,t 0. 由定理 2.7.3 知 yt 关于 Fn+t 是参数为 的 Poisson 过程, 且与 Fn独立. 所以 n+1 n= inft 0 : yt= 1 也服从参数为 的指数分布且与 Fn独立.2.8练习 1. 若 为停时, 则对于任意 t T, t Ft. 2. (1) 设 Xn 为 Fn 适应的, 对于任意 B B(R) 与停时 , 证明:() := infn () : Xn B,为停时 ( inf = ).(2) 设 Xt 为 Ft 适应的, 对于任意开集 B R 与停时 , 证明:() = infn () : Xn B为宽停时 (即关于 F+为停时). 3. 设 Wt 为标准 Wiener 过程, 为关于自然 流的停时, 证明: EWt=0,EW2t= E( t), t 0. 4. 证明定理 2.3.2. 5. 证明命题 2.3.1. 6. (Krickeberg 分分分解解解) 设 Xn 为上鞅, 则下列命题等价:(1) supnEXn s 0,Fs Fs). 10. 设 Mt为右连续平方可积鞅, Ft右连续, 证明: 存在唯一的可料增过程 hMit使得 M2t hMit为鞅. 称 hMit为 Mt的二次变差过程. 11. 证明可料时为停时. 12. 设 Xt为 Ft-L evy 过程, 则也为 Ft+-L evy 过程. 13. 举例说明对于独立增量过程 Xt和停时, Xt未必为 Ft- 独立增量过程. 14. 证明: 任给 12, Brown 运动处处不 -H older 连续 (函数 f 如在 s 的一个邻域内对于某常数 c 0 满足 |f(t) f(s)| c|t s|, 则称 f 在 s 处 -H older 连续).38第三章马氏过程马氏过程是一类特殊过程, 它刻画自然界中具有无记忆性的随机系统的演化行为,包括前面讲的独立增量过程. 我们首先给出马氏过程的若干等价定义, 它们有的简单因而便于验证, 有的内涵丰富而因便于应用. 然后引入确定马氏过程分布的转移概率族, 在时齐情形它们与马氏半群相互确定. 由此, 我们把对马氏过程的研究与泛函分析中的算子半群理论联系起来. 我们还简要介绍马氏过程的鞅方法.3.1基本概念与存在性定理设(E,)为Polish空间, E为Borel 代数, XtT为完备概率空间(,F)上的E值随机过程, FttT为完备的流.定义 3.1.1设 XttT为 FttT适应的随机过程. 如果P(Xt B|Fs) = P(Xt B|Xs),s t, B E,(3.1.1)则称 Xt 为 Ft- 马氏过程, 称 (3.1.1) 为马氏性. 特别地, 当 Ft为自然 - 流时, 简称 Xt 为马氏过程.命题 3.1.1设 Ft为自然 - 流, 则以下诸条件等价:(1) (3.1.1);(2) n 1,t1 tn tn+1,B E, 有P(Xtn+1 B|Xt1, ,Xtn) = P(Xtn+1 B|Xtn).(3.1.2)(3) s t 及 E 上的有界可测函数 f 有E(f(Xt)|Fs) = E(f(Xt)|Xs);(3.1.3)(4) s T 以及 上的有界函数 Fs:= (Xt: t s) 有E(|Fs) = E(|Xs);(3.1.4)(5) s T, 以及 上有界函数 Fs和 Fs, 有E(|Xs) = E(|Xs) E(|Xs).(3.1.5)39证明(1) (2), (4) (3) (1) 显然, 而 (1) (3) 由可测函数的构造如收敛定理得到.(2) (1) : 只需证 Fs, 有E11XtB= E1P(Xt B|Fs).由单调类定理, 只需证对 为柱集情形证明, 而当 为柱集时该式归结为 (3.1.2).(3) (4): 由可测函数的构造如收敛定理, 只需对于 = 1, Fs证明. 而由单调类定理, 仅需考虑 G 为矩形,即: n 1,s t1 tn,Bi E,1 i n, 有P(Xti Bi,1 i n|Fs) = P(Xti Bi,1 i n|Xs).(3.1.6)为此，我们对 n 作归纳法.n = 1 时即(3.1.6) 为(1), 显然成立. 设当 n = k 时(3.1.6)成立, 则对于 n = k + 1 情形有P(Xti Bi,1 i k + 1|Fs) = EkYi=11Bi(Xti)P(Xtk+1 Bk+1|Ftk)flflflFsEkYi=11Bi(Xti)P(Xtk+1 Bk+1|Ftk)flflflXs (Xs)从而(3.1.6) 对于n = k + 1 成立.(4) (5): 设 Fs与 Fs为界函数, 则由(4)E(|Xs) = E(E(|Fs)|Xs) = E(E(|Fs)|Xs)= E(E(|Xs)|Xs) = E(|Xs)E(|Xs).(5) (4). Fs以及有界函数 Fs, 由 (3.1.5) 知E(1) = E(E(1)|Xs) = EE(|Xs) E(1|Xs)= EE(1E(|Xs)|Xs) = E(1E(|Xs)所以 E(|Fs) = E(|Xs).为确定马氏过程的分布,我们使用其正则条件转移概率.设 Xt 是马氏过程, 由于E 为 Polish 空间, s t, 存在给定Xs条件下 Xt的正则条件分布 P(s,x;t,A) :x E,A E; 即P(s,x;t,A) 为E到E的转移概率且P(Xt A|Xs) = P(s,Xs;t,A).40命题 3.1.2设 Xt 为马氏过程, P(s,x;t,A) 为如上定义的正则条件分布，P0为初始分布. 则 0 t1 t2 s,P(s,x;t,) 是概率测度;(b) A E, t s, 有 P(s,;t,A) E;(c) s T,A E, 有P(s,;s,A) = 1APXs-a.s.;(d) s r t 以及A E, 有PXs-a.s.P(s,;t,A) =ZEP(s,;r,dy)P(r,y;t,A);(3.1.7)其中PXs为Xs的分布.41证明只证 (d), 余者显然. B E 有ZBP(s,x;t,A)PXs(dx) = E(E(1XtA|Xs)1XsB)= E(E(1XtA1XsB|Xs) = P(Xt A,Xs B) = P(Xt A,Xr E,Xs B)=ZEP0(dx0)ZBP(0,x0;s,dx)ZEP(s,x;r,dy)P(r,y;t,A)=ZBPXs(dx)ZEP(s,x;r,dy)P(r,y;t,A).定义 3.1.2设 P(s,x;t,A) : s t T,A E,x E 满足 (a),(b) 以及(c0) s T,A E, 有P(s,;s,A) = 1A，(d0) s r t 以及A E, (3.1.7)成立,则称之为马氏转移概率族, (3.1.7) 称为 Kolomogorov-Chapman 方程，简称 KC 方程.如果其它条件不变而把(b) 中的概率测度改为次概率测度(即在 E 上的测度值小于等于1), 则称P(s,x;t,A) 为次马氏转移概率族问题: 给定马氏转移概率族与初分布, 能否构造一个马氏过程使其条件概率分布为给定的转移概率族?定理 3.1.1设 P(s,x;t,A) 为马氏转移概率族, P0为E 上概率测度,则存在以P0为初分布的马氏过程Xt使得P(Xt A|Xs) = P(s,Xs;t,A),s t,A E.证明令 0 t1 t2 tn T 及 A En, 令Pt1,tn(A) :=ZEn+11A(x1, ,xn)P0(dx0)P(0,x0;t1,dx1)P(tn1,xn1;tn,dxn).则它是 (En,En) 上的概率测度. 由 KC 方程知 PT0: T0 T 是和谐的.由Kolmogorov 和谐定理, 存在 (,F) := (ET,ET) 上的概率测度 P 以PT0: T0T为有限维边缘分布族令Xt() := t,t . 则PX0= P0且 t1 t2 tn tn+1, A E, Bn En, 有P(Xtn+1 A,(Xt1, ,Xtn) Bn) = Pt1,tn+1(Bn A)=ZEn+21A(xn+1)1Bn(x1, ,xn)P0(dx0)P(0,x0;t1,dx1)P(tn,xn;tn+1,dxn+1)=ZEnP(tn,xn;tn+1,A)1Bn(x1, ,xn)Pt1,tn(dx1, ,dxn)= EP(tn,Xtn;tn+1,A)1Bn(Xt1, ,Xtn).42从而 P(Xtn+1 A|Xt1, ,Xtn) = P(tn,Xtn;tn+1,A) (Xtn), 因此P(Xtn+1 A|Xt1, ,Xtn) = P(Xtn+1 A|Xtn) = P(tn,Xtn;tn+1,A) (Xtn).故 Xt 是以 P(s,x;t,A) 为正则条件分布族的马氏过程, 且.至此,我们已经把马氏过程与马氏转移概率族一一对应起来.今后，我们称与一个马氏过程对应的马氏转移概率族为其转移概率族或转移概率核.例 3.1.1(1) 令 E:=R,E=B. 则 Brown 运 动 的 转 移 概 率 族 为P(s,x;t,dy) = N(x,(t s)2),x R,s t.(2) 设 E := Z+, E 为最大 - 代数. 则Poisson 过程的转移概率族为P(s,n;t,m) =|(ts)|mn(mn)!e(ts),m n,0,m n,s 0,f M0o D(L)而且在 B 中稠密. 首先, f B 有limsuph0+?1hZh0Psfds f? limh01hZh0kPsf fkds = 0,所以 A 在 M0中稠. 而 h 0, f M0, 有limsupt0+?1tPt(Zh0Psfds) Zh0Psfds (Phf f)?= limsupt0+?1t?Zh+ttPsfds Zh0Psfds (Phf f)?= limsupt0+?1tZh+th(Psf Phf)ds 1tZh0(Psf f)ds? 2limsupt0+1tZt0kPsf fkds = 0.所以Rh0Psfds D(L) 且 LRh0Psfds = Phf f.(2) 与 (3) 之证明. f D(L),t 0, 有limsups0+?PsPtf Ptfs PtLf? = limsups0+?PtPsf fs Lf? limsups0+?Psf fs Lf? = 0.45所以 Ptf D(L) 且 LPtf = PtLf. 另一方面, t 0 有limsups0+?Ptf Ptsfs PtLf? = limsups0+?PtsPsf fs PsLf? limsups0+n?Psf fs Lf? + kLf PsLfko= 0.从而dPtfdt= PtLf = LPtf.例 3.2.1设 Pt为布郎运动的半群, 即:Ptf(x) =ZR12te|xy|22tf(y)dy,f Mb.则 L =12,D(L) C3b(R).证明 f C2b(R) 以及 x R,flflflPsf(x) f(x)s12f00(x)flflfl=flflflfl1sZRez2/22(f(x +sz) f(x)dz 12f00(x)flflflfl=flflflflZRez2/22f0(x)sz +f00(x)2z212f00(x) +16sz3f000(x + sz)dzflflflflfl Cs,其中 0,1 为变量, C 0 为常数. 因此 f D(L) 且 Lf =12f.显然, C3b(R) 在 Mb中不是稠密的, 即取 Mb作为基本 Banach 空间通常太大, 所以应该取半群的适当的不变子空间 (例如强连续中心). 这个子空间也不能太小, 起码是概率测度的决定类. 对于 Brown 运动, 可取 Cb(R) 作为基本的 Banach 空间.问题: 给定 B 上的稠定义的线性算子 (L,D(L), 如何判定其为一个强连续压缩半群的生成元?首先考虑有界算子, 再通过逼近方法研究一般算子.例 3.2.2设 (L,D(L) 是有界线性算子, f D(L), 令Ptf = etLf :=Xk=0(tL)kk!f,则 Pt为 D(L) 上的强连续半群, 无穷小生成元为 L.46证明由于limsupk?Xn=k(tL)nn!f? limsupkXn=kk(tL)nfkn! limsupkXn=ktnkLknkfkn!= 0,所以Xk=0(tL)kk!f 在 B 中收敛. 从而 Ptf B 有定义且 t,s 0 有Ps+tf =Xk=0(t + s)kLkk!f =Xk=0kXn=0Cnk1k!tnsknLkf=Xn=0Xl=01n!l!tnslLn+lf =Xn=0tnn!Ln(Xl=0sll!Llf) = Pt(Psf).所以 Pt为半群. 最后, 由于limt0?1t(etLf f) Lf? = limt0?Xk=1tkLk+1(k + 1)!f? limt0Xk=1tkkLkk+1kfk(k + 1)! (etkLkkfk 1)kLk 0 (t 0).所以 L 为 Pt生成元. 强连续性显然.为使用有界算子逼近无界算子, 我们引入 L 与 Pt之间的另一种关系: 预解式.定义 3.2.3设 Pt为 B 上强连续压缩半群, 令Rf :=Z0(Ptf)etdt,f B, 0.则称 R0为半群 Pt的预解式, 简记为 R.命题 3.2.4设 Pt为 B 上强连续压缩半群, (L,D(L) 为生成元. 则:(1) R为有界线性算子, kRk 1/;(2) f B,有Rf D(L)且( L)Rf = f (即 : LRf = Rf f);(3) f D(L), 有R( L)f = f.从而 RB = D(L).证明(1) 任给 f B, 由 Pt的压缩性知kRfk Z0kPtfketdt kfk.47(2) f B,h 0, 有k1h(PhRf Rf) (Rf f)k= k1h(PhZ0etPtfdt Rf) (Rf f)k= k1h(Z0etPt+hfdt Rf) (Rf f)k= k1h(Zhe(th)Ptfdt Rf) (Rf f)k= k1hehRf ehZh0etPtfdt Rf (Rf f)k1h(eh 1 h)kRfk +1hkehZh0etPtf fdtk1h(eh 1 h)kfk + eh1hZh0ketPtf fkdt 0 (h 0),所以 Rf D(L) 且 LRf = Rf f.(3) f D(L), 有RLf =Z0etPtLfdt =Z0etdPtfdtdt= etPtf|0+ Z0etPtfdt = f + Rf.从而 R( L)f = f.定理 3.2.1(Hille-Yoshida 定定定理理理) 设 B 是一个由函数组成的 Banach 空间, L是 B 上以 D(L) 为定义域的线性算子, L 是 B 上一个强连续, 压缩正半群 Pt的无穷小生成元当且仅当以下条件成立:(1) D(L) 在 B 中稠密;(2) 0,( L)1在 B 上有定义;(3) 0,( L)1是正算子;(4) k( L)1k 1/.证明由命题 3.2.4 知( L)1= R=Z0etPtdt, 0.因此必要性显然.48为证明充分性, 我们使用预解式 R来构造逼近 L 的有界算子.令 R= ( L)1,L= LR, (直观上: 时, R= (I L)1 I, 从而 L L). 则L= (L )R+ 2R= 2R . 从而 kLk = 2kRk + 2. 令 Pt= etL,则 Pt为强连续半群. 由于kPtk = ket(RI)k = kete2tRk ete2tkRk 1,Pt为强连续压缩半群.下面我们分三步证明当 时 Pt收敛到一个以 (L,D(L) 为生成元的强连续压缩正半群.(a) 收敛性. f D(L) 有kRf fk = kRLfk 1kLfk o ( ).(3.2.2)任给 f D(L), 由于 D(L) 在 B 中稠, 取 fn D(L) 使 kfnLfk 1n. 则由 (3.2.2)及 (4) 知limsupkLf Lfk limsupkLf fnk + kR(Lf fn)k + kfn Rfnk2n.令 n 得limkLf Lfk = 0,f D(L).(3.2.3)给定 t 0, 由于生成元为半群的微分, 为使用L的收敛性证明 Ptf收敛性( ),我们对时间区间 0,t 进行分割. ,0 0 和 f D(L),kPtf P0tfk = ketLf etL0fk = knXk=1ek1ntL+nkntL0(etnL etnL0)fk n( max1knkPk1ntk kP0nkntk ketnLf etnL0fk) tketnLf etnL0ft/nk tkLf L0fk (n ),这里用到了L与L0可交换性(简单练习). 由此,kPtf P0tfk tkLf L0fk,f D(L).(3.2.4)49从而 (3.2.3) 蕴涵lim,0kPtf P0tfk = 0,f D(L).(3.2.5)对于一般的 f B, 由于 D(L) 在 B 中稠, 取 fn D(L) 使 kfn fk 1n. 由 Pt的压缩性,kPtf P0tfk kPtfn P0tfnk +2n.先令 ,0 再令 n 并使用 (3.2.5), 我们得到lim,0kPtf P0tfk = 0,f B.(3.2.6)从而Ptf := limPtf,f B在 B 上有定义.(b) 强连续压缩正性半群性质. 由于为 Pt压缩半群, 易见其极限 Pt也是压缩半群.另外, 当 f D(L) 时由 (3.2.4) 与 (3.2.3) 知kPtf fk kPtf Ptfk + kPtf fk tkLf Lfk + kPtf fk.所以 Pt的强连中心包含 D(L). 由于 D(L) 在 B 中稠密且由命题 3.2.3 的证明知强连续中心是闭的, 从而 Pt为 B 上强连续半群. 此外, 由 (3) 知 Pt= etet2R为正算子,所以 Pt:= limPt也为正算子.(c) Pt的生成元为 (L,D(L). f D(L), 有Ptf f =Xn=1tnLnf(n 1)!=Xn=1Lnfn!Zt0sn1ds=Zt0Xn=1Ln1sn1(n 1)!Lfds =Zt0PsLfds.而kPsLf PsLfk kPsLf PsLfk + kPsLf PsLfk kPsLf PsLfk + kLf Lfk 0 ( ),从而Ptf f = lim(Ptf f) = limZt0PsLfds =Zt0PsLfds.50所以 limt0kPtf ft Lfk 0. 令 Pt的生成元为 (L,D(L), 我们有 D(L) D(L) 且L|D(L)=L|D(L). 从而由 (2) 及命题 3.2.4 知, ( L) : D(L) B and ( L)|D(L):D(L) B 均为满单射, 故 D(L) = D(L).由 Hille-Yoshida 定理, 我们可用生成元 L 来研究马氏过程 (连续时间). 后面我们将看到, 除了离散时间的马氏过程由一步转移概率确定外, 连续时间时齐马氏过程通常给定的是其生成元. 一般地, 很难直接验证 Hille-Yoshida 定理的条件, 所以人们寻求其它方式由生成元构造过程. 例如: 使用 Dirichlet 型理论, 使用鞅方法 (鞅解), 或使用随机微分方程. 后面我们先介绍鞅方法, 由于随机微分方程理论自成系统而被放在第 4 章, 而 Dirichlet 理论部分可以参考 Ma-Rockner 和 Fukushima-Oshima-Takeda.3.3马氏过程的鞅问题我们从时齐马氏过程出发构造鞅, 再反过来使用鞅性质来刻画马氏过程, 从而引入使用马氏生成元构造时齐马氏过程的鞅方法. 假设 Xt为时齐马氏过程, Pt为相应半群. 我们先定义 Pt的弱生成元.定义 3.3.1如果 f Mb使得Lf := limt0Ptf ft在一致有界逐点收敛下存在, 即: 函数列一致有界且逐点收敛, 则记 f D(L), 并称(L,D(L) 为 Pt的弱生成元.由控制收敛定理以及命题 3.2.3 知下面的 Kolmogorov-Chapman 方程成立:dPtfdt= PtLf =LPtf,t 0,f D(L).(3.3.1)由此得Ptf(Xs) = f(Xs) +Zt0PuLf(Xs)du.由于Ptf(Xs) =ZEf(y)Pt(Xs,dy) = E(f(Xt+s|Fs),PuLf(Xs) = E(Lf(Xs+u)|Fs),我们有51E?f(Xt+s) f(Xs) Zt+ssLf(Xu)du|Fs= 0,s,t 0.因此, 我们有下面结论.命题 3.3.1假设 Xt为时齐马氏过程, (L,D(L) 弱生成元. 则任给 f D(L),Mt(f) := f(Xt) Zt0Lf(Xs)ds为鞅.反之, 我们拟使用鞅来刻画 Pt的弱生成元. 为此, 我们考虑逐点出发的马氏过程(从单个分布出发的一个马氏过程无法确定半群!). 任给 x E, 我们知道从 x 出发的以 Pt(y,dz) 为转移概率的马氏过程的分布 Px是轨道空间 E0,)上的概率测度, 其有限维分布为Pxt1,tn(dx1, ,dxn) = Pt1(x,dx1)Pt2t1(x1,dx2)Ptntn1(xn1,dxn),其中 0 t1 0.从而, 由轨道的右连续性和控制收敛定理,limt0Ptf(x) f(x)t= limt01tEx(f(Xt) f(X0) = limt01tZt0Exg(Xs)ds = g(x).基于上面的结果, 为构造时齐马氏过程, 我们需构造轨道空间上的概率测度族Px: x E使得坐标过程为马氏过程且对于足够多的函数 f D(L), Mt(f) 为鞅. 于是我们引入下面的标准马氏过程与鞅解的概念.定义 3.3.2设 Px: x E 为 (ET,ET) 上一族概率测度. 如果对于坐标过程Xt() := t, ET, 有(1) Px(X0 A) = 1A(x),x E,A E;(2) 对于自然 - 流 Ft有 Px(Xt+s A|Fs) = PXs(Xt A) a.s.-Px, x E,s,t 0,则称 Px: x E 为 E 上一个标准马氏过程.易见，如 Px: x E 为标准马氏过程, 则在每个 Px之下坐标过程为时齐马氏过程, 转移概率为 Pt(x,A) := Px(Xt A).定义 3.3.3设 B 为由 E 上一些实函数组成的 Banach 空间, (L,D(L) 为 B 上稠定算子. 如果 Px: x E 是标准马氏过程, 且任给 x E,f D(L),f(Xt) Zt0Lf(Xs)ds为 Px- 鞅, 则称该标准马氏过程为 (L,D(L) 鞅问题的解, 简称为 L 的一个鞅解.命题 3.3.3设(L,D(L)为Mb上线性算子, 为右连续标准马氏过程Px: x E为其鞅问题的解. 如果任给f D(L)与x E, 有limts+Lf(Xt) = Lf(Xs) Px-a.s.,则Ptf(x) := Exf(Xt) :=Rf(Xt)dPx为马氏半群且limt0+Ptf ft= Lf,f D(L)在有界逐点收敛意义下成立.53关于马氏过程的鞅问题, 有专门的论著. 这里我们简单介绍寻求鞅解的一般思路:1) 用有界生存元Ln逼近L, 使得马氏半群P(n)t:= etLn决定的Ln的鞅解Pxn: x E是左极右连轨道空间W(可赋度量成为Polish空间)上的概率测度族;2) 如果对于每个x E, Pxn: n 1胎紧, 则取其适当的子列极限, 并记为Px. 最好取到关于x一致的子列, 这通常需要Pxn关于x的连续性;3) 验证Px: x E为所求鞅解.3.4强马氏过程马氏过程的直观含义是: 在 “现在” 的条件下 “未来” 与 “过去” 独立. 如果这个条件独立性对于 “现在” 为停时仍然成立, 则成为强马氏性. 下面给出强马氏过程的严格定义.定义 3.4.1设 Xt为以 Pt(x,dy) 为转移概率的时齐马氏过程, 如果任给 A E和停时 , 有1P(Xt+ A|F) = 1Pt(X,A),t 0,则称该过程为强马氏过程.命题 3.4.1任何离散时间时齐马氏过程均为强马氏过程.证明任给 A E,n 0,B F, 由马氏性有P(Xn+ A, ,B) =Xk=0P(Xn+k A,B, = k)=Xk=0E1B=kE(1Xn+kA|Fk)=Xk=0E1B=kPn(Xk,A) = E1BPn(X,A).由此得P(Xn+ A|F)1= Pn(X,A)1 0 有 PtCb(E) Cb(E), 则称之为Feller 半群; 称半群为 Feller 半群的马氏过程为 Feller 过程.2) 如果任给 t 0 和有界可测函数 f 有 Ptf Cb(E), 则称 Pt为强 Feller 半群; 称半群为强 Feller 半群的马氏过程为强 Feller 过程.定理 3.4.1设 Xt为时齐右连续马氏过程. 如果其半群为 Feller 半群且在 Cb(E)上强连续, 则 Xt为Ft+-强马氏过程.证明任给宽停时 , 有 n:= 2n(2n + 1) (n ) . 易见n t = 2n 2nt 1 = 2n 2nt = 2n2nt Ft,所以 n是停时. 由于 X2nk: k 0 为 F2nk- 马氏过程, 所以是强马氏的. 从而, 任给 f Cb(E),B F Fn n , 有Ef(Xn+2n(2nt+1)1B= EP2n(2nt+1)f(Xn)1B.由轨道右连续性, Feller 性和强连续性, 对上式令 n 得Ef(X+t)1B= EPtf(X)1B.从而1E(f(Xt+)|F) = 1Ptf(X).由于 Cb(E) 为概率测度的确定类, 上式对于 f = 1A,A E 也成立.3.5练习 1. 设 Pt为 Brown 运动的半群, 证明: Cu M0, 其中 Cu为有界连续函数全体. 2. 设 Pt是参数为 的 Poisson 过程的半群, 求生成元 L, 并证明 D(L) = Mb. 3. 证明 Brown 运动为强马氏过程. 4. 设 bt: t 0 为 Brown 运动,Xt:=bt,如 b06= 0,0,如b0= 0.证明 Xt关于bt的自然-流为时齐马氏过程但不是强马氏过程, 并写出其转移概率.55 5. 设 bt: t 0 为 Brown 运动, 0:= inft 0 : bt= 0. 证明: 对任意的x, Px(0 ) = 1. 6. 证明命题3.3.3.56第四章随机微分方程与扩散过程使用随机微分方程来构造由二阶椭圆微分算子生成的强马氏过程. 如:dXt= (Xt)dBt+ b(Xt)dt(4.0.1)生成元为122(x)d2dx2+ b(x)ddx. 轨道连续的过程称为(4.0.1)的解, 如果Xt= X0+Zt0(Xs)dBs+Zt0b(Xs)ds,t 0.要解(4.0.1), 首先要定义关于 B.M. 的随机积分.4.1It o 随机积分设 Bt 为 d-维 B.M. (每个分量为一维 B.M., 分量之间相互独立), , B.()不是有限变差过程, 从而 dBs() 不是通常意义下的测度(没有 -可加性). 因此不能用Lebesgue 积分进行定义. 但我们可以采用 Riemann 积分.例如: 设 a0, ,an1为 R 中 n 个适应有界随机变量(即 ai Fi), 0 = t0 t1 tN= T 为 0,T 的一个分割, 令 ft:=NXi=1ai11ti1,ti)(t), t 0., 则Zt0hfs,dBsi :=NXi=1hai1,Btti Btti1i, t 0.注意: 该定义与 ft的表示无关. 令S(T) := NXi=1ai11ti1,ti): ai Fi,在 Rd中有界,0 = t0 t1 tN= T则 f S(T), 已经定义 It o 随机积分. 目标: f L2(T) := f循序可测 : EZT0|ft|2dt ,定义Rt0fsdBs. 思想: 如 S(T) L2(T) 稠, 则使用 S(T) 中一族随机函数逼近给定的f L2(T); 如Rt0f(n)dBs收敛, 则以其极限定义Rt0fsdBs!问题:Rt0f(n)dBs作为什么空间是中的序列收敛?命题 4.1.1 f S(T), 有(1) Mt:=Rt0fsdBs是鞅, 轨道连续;57(2) hMi2t=Rt0|fs|2ds, s T;(3) E sup0tT(Zt0hfs,dBsi)2 4EZT0|fs|2ds.证明仅证 (1) 与 (2), (3) 为最大值不等式.(1) s 0 使 |f| R) 连续, 令f(n):=NXi=1fT(i1)N1T(i1)N,TiN),则 f(n) f (n ) (逐点). 事实上:limnEZT0|f(n)s fs|2ds = EZT0limn|f(n)s fs|2ds = 0.58(b) f L2(L), 有界. 则 n 1,f(n)t:= nZt(t1n)+fsds是轨道连续的循序可测过程. 令gt:=Rt0fsds, 则g a.s.可导且g0t= fta.e.从而t 0,limnf(n)t= g0t= fta.e.t所以 f(n)t() ft(),a.e.(t,). 由控制收敛定理知limnEZT0|f(n)t ft|2dt = 0.因此存在一列f(n) S(T), 使得 limnEZT0|f(n)t ft|2dt 0 (n ).(c) f L2(L), 令 f(n):= (f n) (n), 则 f(n)有界循序可测, |f(n)| |f|, 由控制收敛定理知 f(n) f in L2(T).命题 4.1.3设 f L2(T),fn f inL2(T),fn S(T), 则 Mt:=limnZt0hf(n)s,dBsi 在 (L2(,Ft,P) 中存在, 记为Rt0hfs,dBsi.证明只需证Rt0hf(n)s,dBsi 是 L2(T) 中的 Cauchy 列.E(Zt0hf(n)s f(m)s,dBs)2= EZt0|f(n)s f(m)s|2ds 0 as n,m (需证明:Rt0hf(n)s,dBsi 在平方可积鞅空间中为 Cauchy 列.且平方可积鞅空间是Hilbert 空间.) 性质: f L2(T),Mt:=Rt0hfs,dBsi 为连续平方可积鞅. hMti := M2t的增过程部分( Doob-Meyer 分解定理), 则 dhMti = |ft|2dt.(1) 鞅的随机积分: 设 Nt:= (N(1)t, ,N(d)t) 为连续平方可积鞅, 令L2(T,M) := f 循序可测 : EZT0dXk=1|f(i)s|2dhM(i)si ,则 f L2(T,M),Rt0hfs,dMsi 有定义, 是平方可积鞅.(2) 局部可积函数的It o 积分.L2(T) := f 为循序可测过程 : EZT0|fs|2ds t,可得对于该 有intt0hf(n)s,dBsi = intt01snhf(n)s,dBsi). 定义的合理性: 对每个 n, 涉及一个零测集.取公共零测集. Mt未必是鞅 (未必可积). 但存在一列停时 n 使 Mtn为鞅称为局部鞅.4.2It o 公式 (随机微分的链式法则)随机积分 随机微分, Mt:=Rt0hfs,dBsi dMt= hfs,dBsi. 经典情形: df t=f0 tdt. 由于 Bs的轨道不可微, 导致上述法则对随机微分无效. 由于f (Mt+)f Mt= f0Mt(Mt+Mt)+12f00Mt(Mt+Mt)2+o(1)(Mt+Mt)一阶无穷小不可忽略, 但高阶无穷小可以忽略.定理 4.2.1设 dMt= hft,dBti,g C2(R), 则dg(Mt) = g0(Mt)dMt+12g00(Mt)|ft|2dt.证明无妨设 g C2b(R),f S(T). 令 f =NXi=1ai11ti1,ti).g(Mt) g(M0) =NXi=1g(Mtti) g(Mtti1).其中 t1, ,tN为 0,t 的一个分割. 则 1 i N, ti1,ti 的分割 ti1= s0 sn= ti, 有g(Mtti) g(Mtti1)=nXj=1g(Mtsj) g(Mtsj1)=nXj=1g0(Mtsj1)(Mtsj Mtsj1)+12g00(Mtsj1)(Mtsj Mtsj1)2+ o(1)(Mtsj Mtsj1)2=nXj=1g0(Mtsj1)hai1,Btsj Btsj1i+12g00(Mtsj1)hai1,Btsj Btsj1i2+ o(1)(Mtsj Mtsj1)2=nXj=1hg0(Mtsj1)ai1,Btsj Btsj1i +12g00(Mtsj1)|ai1|2(t sj t sj1)+12g00(Mtsj1)hai1,Btsj Btsj1i2 |ai1|2(t sj t sj1) + o(1)(Mtsj Mtsj1)2.60由于g0n(s) :=nXj=1g0(Mtsj1)1sj1,sj)(s) g0(Mts)所以Ztitti1tg0n(Ms)dMs=nXj=1hg0(Mtsj1)ai1,Btsj Btsj1i Ztitti1tg0(Ms) Ms,12g00(Mtsj1)|ai1|2(t sj t sj1) Ztitti1tg00(Ms) s,令 Njt:= hai1,Btsj Btsj1i2 |ai1|2(t sj t sj1), 则 Njt为鞅且EnXj=1g00(Mtsj1)(hai1,Btsj Btsj1i2 |ai1|2(t sj t sj1)2= EnXj=1(Njt)2g00(Mtsj1)2 cnXj=1(t sj t sj1)2 0.由此可得g(Mtti) g(Mtti1) =Ztitti1tg0n(Ms)dMs+12g00(Ms)ds.定理 4.2.2(高维 It o 公式) 设 dM(i)t= hf(i)t,dBti,1 i d, 则 g C2(R) 有dg(M(1)t, ,M(d)t) =dXi=1(ig)(M(1)t, ,M(d)t)dM(i)t+12dXi,j=1(ijg)(M(1)t, ,M(d)t)dhM(i)t,M(j)ti,其中 dhM(i)t,M(j)ti =dXk=1(f(i)t)k(f(j)t)kdt.4.3随机微分方程与扩散过程4.3.1解的存在唯一性考虑下面随机微分方程 (SDE)dXt= (Xt)dBt+ b(Xt)dt,X0 F0,E|X0|2 .(4.3.1)其中 ,b 为 R 上的可测函数.61定义 4.3.1: 称适应的连续随机过程 Xt为方程 (4.3.1) 的解, 如果 t 0,) 有Xt= X0+Zt0(Xs)dBs+Zt0b(Xs)ds,t 0 : |Xt| = := limninft 0 : |Xt| n 为生命时.定理 4.3.1设 与 b 是局部 Lipschitz 连续, 则 (4.3.1) 的解存在唯一.证明(a) 先假设 与 b 是 Lipschitz 连续且 X0有界. 只需证 T 0, (4.3.1) 在0,T 上的解存在唯一.(存在性) 令X(0)t:= X0,X(n)t:= X0+Zt0(X(n1)s)dBs+Zt0b(X(n1)s)ds.先证明 X(n)t有定义: 由 X(1)t:= X0+ (X0) + b(X0)t, 所以存在 c1 0 使E(X(1)t)2 c1(1 + t2),t ,则 X(2)t有定义且E(X(2)t)2 3X20+ 3c1Zt0(1 + s2)ds + 3c1Zt0(1 + s2)ds c2(1 + t3).以此类推, 每个 X(n)t均有定义. 设 Lip(),Lip(b) L,L 0, 由|X(n+1)t X(n)t| |Zt0(X(n1)s) (X(n)s)dBs| + L +Zt0|X(n1)s X(n)s|ds,可推得E sups0,t|X(n+1)t X(n)t|2 4L2(1 + T)Zt0E|X(n1)t X(n)t|2ds.由归纳法得E sups0,t|X(n+1)t X(n)t|2 4L2(1 + T)Zt0dt1Zt10dt2Ztn10E|X(1)tn X0|2dtn C14L2(1 + T)nTn/n!.所以P(E sups0,t|X(n+1)t X(n)t| 12n) C18L2(1 + T)nTn/n!.由 Borel-Cantelli 引理知, 存在零测集 N, / N,X(n)() 在 0,T 上一致收敛, 记极限为 X(). 即Xt= limnX(n)t= X0+ limn(Zt0(X(n1)s)dBs+Zt0b(X(n1)s)ds)=Zt0(Xs)dBs+Zt0b(Xs)ds62(唯一性) 设有两个解 Xt与Xt, 则d(XtXt) = (Xt) (Xt)dBt+ (b(Xt) b(Xt)dt由 It o 公式得d(XtXt)2= dMt+12(Xt)(Xt)2dt+(b(Xt)b(Xt)(XtXt)dt dMt+c|XtXt|2dt,所以E(XtXt)2 cZt0E(XsXs)2ds.由 Gronwall 引理知 E(XtXt)2= 0.(b) 与 b 是局部 Lipschitz 连续且 X0有界情形. n 1, 令 hn C0(R) 使hn|n,n= 1 且令 n:= hn,bn:= hn, 设 X(n)t为方程dX(n)t:= n(X(n)t)dBt+ bn(X(n)t)dt,X(n)0= X0的解. 令:= inft 0 : |X(n)t| n.则在 n之前, X(n)t也满足 (4.3.1). 易见, m n, 在 n之前有 X(m)t= X(n)t(解的唯一性: 以 t n代替 t 由 (a) 的证明知). 则 m n且 t 0 : |X(n)t| n.(唯一性) 类似, 使用 t n n代替 t, 可推得 E(Xtn nXtnn)2= 0, 因此,在 n n之前过程相等.(c) 一般地, 令 Dn 为 Rd的有界分割, X(n)t为从 X01X0Dn出发的解. 令X:=Xn=1X(n)1X0Dn,则 Xt是从 X0出发的解. 事实上, , n 使 X0 Dn, 则Xt(0 = X(n)t() = X0() + Zt0(X(n)s)dBs+Zt0b(X(n)s)ds()= X0() + Zt0(Xs)dBs+Zt0b(Xs)ds().唯一性证明用局部 Lipschitz 性.634.3.2多维情形考虑下面方程dXt= (Xt)dBt+ b(Xt)dt,X0 onRd.F0,E|X0|20 : |Xt| n 为生命时.命题 4.3.1如果 与 b 具有线性增长条件, 即存在 c 0 使|(x)| + |b(x)| c(1 + |x|),x Rd,则 (4.3.2) 的解非爆炸.证明仅需证, 固定 X0 Rd, n (as n ). 由 It o 公式,d|Xt|2= 2hXt,(Xt)dBti + (|(Xt)|2+ 2hb(Xt),Xti)dt 2hXt,(Xt)dBti + c(1 + |Xt|2)dt,t n.所以Ex|Xtn|2 x2+ cEZtn0(1 + |Xs|2)ds x2+ cZtn0(1 + E|Xsn|2)ds,由 Gronwall 引理得n2Px(n t) Ex|Xtn|2 x2ect 1.即Px( t) = 0, t 0.命题 4.3.2(4.3.2) 的解存在唯一且非爆炸, 则其为马氏过程.证明 s 0, 令Bu:= Bu+s Bs, 为新的 B.M., 设 (Xu)u0:= (Xu+s)u0满足dXu= (Xu)dBu+ b(Xu)du,X0= Xs.由解的唯一性知, (Xu)u0为 Xs与 (Bu)u0之函数, 从而Xu (Xs,Bu). 又由于Bu与 Fs独立, 则P(Xs+u A|Fs) = P(Xs+u A|Xs).思考题: 设 C1与 C2独立, 2 C2, 则对任意有界 (C1,1) 有E(|C2) = E(|2)先证 = 1A1B,A C1,B (1); 再用单调类定理.作业: 如果 与 b 是局部 Lipschitz 连续且方程 (4.3.1) 的解 Xt非爆炸, 则 Ptf(x) :=Exf(Xt),f Cb(Rd), 为 Feller 半群, 从而 Xt为强马氏过程.644.3.3生成元与 Stratonovich 微分 (或 Fish-Stratonovich 微分)设 Xt是下面随机微分方程的解:dXt= (Xt)dBt+ b(Xt)dt,其中 : Rd Rd Rm,b : Rd Rd,Bt为 m-维 B.M., 由 It o 公式, f C20(Rd) 有df(Xt) = hf(Xt),dXti +12dXi,j=1(ijf)mXk=1(ikjk)(Xt)dt= hf(Xt),(Xt)dBti + 12dXi,j=1aijijf +dXi=1biif(Xt)dt其中 a := . 从而f(Xt) f(X0) Zt012dXi,j=1aijijf +dXi=1biif(Xs)ds =Zt0hf(Xs),(Xs)dBsi为鞅 (设 局部有界). 从而 (Xt)t0是下面算子的鞅问题的解L :=12dXi,j=1aijij+dXi=1bii称为由 L 生成的扩散过程, 记成 L-扩散过程.注 4.3.1: a 0, 如果 a 0 且 C2-光滑, 则 :=a C1-光滑.推论 4.3.1如果 a 0,a C2,b C1, 则 L-扩散过程存在唯一且为强马氏过程(生命时也许有限, 强马氏性对生命时之前的时间验证).考虑: 椭圆型算子L :=12nXi=1A2i+ A0,Ai:=dXk=1ikk则 A2i=dXk,l=1ikilkl+ ik(kil)l,i = 1, ,n. 故L :=12Xi,k,likilkl+ ik(kil)l +dXk=10kk=12Xk,lak,lkl+dXk=1bkk65其中 a = ,bk=nXi=1dXl=1il(iik) + 0k. 再利用 It o 随机微分方程求解 L-扩散过程.问题: 能否建立由 Ai直接给出的随机微分方程?另一方面, 由 It o 公式知df(X(1)t, ,X(d)t) = hf(Xt),dXti +12dXi,j=1(ijf)(Xt)dhX(i),X(i)i=dXi=1if(Xt)dX(i)t+12dXj=1(ijf)(Xt)dhX(i),X(i)i.令 Yt dXt= YtdXt+12dhX,Y it, 则if(Xt) dX(i)t= if(Xt)dX(i)t+12dXj=1(ijf)(Xt)dhX(i),X(i)i由于dif(Xt) =dXj=1j(i)f(Xt)dX(j)t+ 有限变差部分hif,X(i)i 为两者鞅部分的有限变差过程. 所以(It o 公式)df(X(1)t, ,X(d)t) =dXi=1if(Xt) dX(i)t= hf(Xt),dXti.考虑如下方程( Stratonovich)dXt=nXi=1Ai(Xt) dB(i)t+ A0(Xt)dt由 It o 公式知df(Xt) = hf(Xt),dXti =nXi=1(Aif)(Xt) dB(i)t+ hf(Xt),A0(Xt)idt=nXi=1hf(Xt),Ai(Xt)dB(i)ti +nXi=1(A2if)(Xt)dt + hf(Xt),A0(Xt)idt= 鞅 + Lf(Xt)dt.其中 d(Aif)(Xt) =nXj=1h(Aif)(Xt),Aj(Xt)dB(j)ti + 有限变差部分. 因此, 对于型如L :=12nXi=1A2i+ A066的算子, 相应的随机微分方程写成 Stratonovich 型比较方便. 而对于型如L :=12nXi,j=1()ijij+nXi=1bii的算子, 使用 It o 方程比较方便.4.4Dirichlet 问题设L =12dXi,j=1aijij+dXi=1bii其中 aij C2,bi C1,(aij) I,( 0). 设 D Rd为有界区域.4.4.1调和函数称 u C2(D) Cb(D) 为 L-调和函数, 如果 Lu|D= 0.引理 4.4.1设 Xt为 L-扩散过程, D:= inft 0 : Xt D, 则 x D 有ExD 0 使 L|x|D c. 令(r) :=Zr0e2cs/dsZs0e2cu/du则 0 0,00 0, 且L(|x|) = 0(|x|)L|x| +1200(|x|)Xaij(i|x|)(j|x|) c0(|x|) +200(|x|) 2.所以E(|x|) (|x|) +2E因此,E 2suprR(r) .定理 4.4.1f 为 D 上的 L-调和函数当且仅当f(x) = Exf(xD),(4.4.1)其中 Xt为 L-扩散过程, D:= inft 0 : Xt D.67证明充分性: 由引理4.4.1知 ED 0, 则 0 使 B(x,) D 且LF|B(x,) 0. 则f(x) = Exf(xB) = f(x) + EZB0Lf(Xs)ds f(x) + EB.所以 ExB= 0, 又轨道连续知 B 0, 矛盾!必要性: 设f 为 D 上的 L-调和函数, 则Exf(xDt) = f(x) + EZDt0Lf(Xs)ds = f(x)令 t 得 f(x) = Exf(xD).推论 4.4.1任何 L-调和函数的最大值与最小值必在边界上达到.4.4.2Dirichlet 热方程考虑 0,) D 上的连续函数所满足的方程:tu = Lu,inD;u(t,)|D= 0,u(0,) = f.其中 f C2(D) C(D).定理 4.4.2上述方程存在唯一解:u(t,x) = Exf(XtD).证明令 Ptf(x) = Exf(XtD). 由于 t:= XtD为时齐马氏过程, 我们有dPtfdt= PtLf = LPtf.68其中生成元为 L. 则 u(t,x) := Ptf(x) 满足热方程.唯一性: 给定 t 0, 由du(t s,Xs) = dMs+ Lu(t s,Xs)ds uu(,Xs)|u=D= dMs,s Du(t D,XD) = Exf(XtD).4.4.3Poisson 问题给定 g C(D), 找 f D2(D) C(D) 满足Lf = g,inD;f|D= 0.(4.4.2)定理 4.4.3f(x) := ExRD0g(Xs)ds 是方程4.3.2的解.证明设存在 x 使 Lf(x) 6= g(x), 无妨设 Lf(x) g(x). 则存在 B(x,r) D及 0 使 (Lf g)|B(x,r) 0, B:= inft 0 : Xt B. 则Exf(XB) = ExEXBZB0g(Xs)ds = ExZDBg(Xs)ds而Exf(XtB) = f(x) + ExZtB0Lf(Xs)ds f(x) ExZtB0g(Xs)ds + E(t B)所以EB Exf(XB) + ExZB0g(Xs)ds f(x) = ExZD0g(Xs)ds f(x) = 0矛盾!唯一性: 如 f 满足方程4.3.2, 则df(Xt) = dMt g(Xt)dt,t 0,h C2(Rd).令T(t) :=Zt0h(Xs)ds,t ,(t) := T1(t),t:= X(t),t T().定理 4.5.1t为L-扩散过程.证明f C20(Rd), 由 It o 公式知df(t) = df(X(t) = dMt+Lf(X(t)0(t)dt,t 0 固定, 设 Ee12RT0|b(Xt)|2dt (过程非爆炸).71引理 4.5.1Zt:= expRt0hb(Xs),dBsi 12Rt0|b(Xs)|2ds 为鞅.证明由 It o 公式知dZt= Zthb(Xt),dBti Zt2|bt|2dt +Zt2|bt|2dt = Zthb(Xt),dBti则 Zt为局部鞅. 令 n 为一列停时 Ztn为鞅. 则 EZtn= 1 由 Fatou 引理知EZt= E limnZtn limnEZtn= 1从而 Zt为鞅.推论 4.5.2令 R := ZT, 则 dQ := RdP 为 上的概率测度.定理 4.5.2在概率测度 Q 之下, (Xt)t0,T为 B.M.证明 f C20(R), 只需证Mt:= f(Xt) 12Zt04f(Xs)ds,t T在 Q 之下为鞅. t1 t T, A Ft1, 有EQ1AMt= E1AZTMt= E1AMtE(ZT|Ft) = E1AZtMt= E1AE(MtZT|Ft1).dMs= hf(Xs),dBsi + hb(Xs),f(Xs)ids,dZs= Zshb(Xs),dBsi所以d(MsZs) = MsdZs+ ZsdMs+ dhM,Zis= 鞅 + Zshb(Xs),f(Xs)ids Zshb(Xs),f(Xs)ids = 鞅从而EQ1AMt= E1AZt1Mt1= E1AMt1E(ZT|Ft1) = E1AZTMt1= EQ1AMt1.因此, 有EQ(Mt|Ft1) = Mt1,t1 t T.(利用124 鞅解的唯一性, 书上: MtQ 之下是独立增量过程, MtMt1 N(0,(tt1)I)(318 页).推论 4.5.3124 + b 导出的扩散过程与 B.M. 具有完全相同的轨道性质.(包括:Hausdorff维数, 正则性等)72参 考 文 献73