随机变量的生成,zhaoyuexia,随机变量的生成方法,随机变量的生成就是一个获得非均匀分布的随机数的过程。,生成随机变量的方法有许多种，但是几乎所有产生随机变量的技术都是从生成一个或多个0,1 区间均匀分布的伪随机数开始的，随后通过应用某种转换方法即可从0,1均匀分布随机数中生成非均匀分布的随机数。,方法：逆变换法、卷积法、函数变换法、合成法、取舍法,1）逆变换法,逆变换法也称反函数法。 是最常用、最简单的一种随机变量生成方法。 它以概率的积分变换定理为基础。 若给定随机变量的概率分布函数为F(X)，则F(X)是在区间0,1的均匀分布随机变量，并与F(X)的分布特征无关。,连续型随机变量逆变换法步骤： 步骤一：计算随机变量X的cdf。 步骤二：在X的范围内，令 。 步骤三：解X的方程 ，用R来代替 ，以求得 。 步骤四：产生（所需要的）均匀分布的随机数 ，利用公式 计算我们所期望的随机变量。,例 1 若某指数分布的概率密度函数为: 试采用逆变法设计出该分布的随机变量的算法。 解：随机变量的概率分布函数为：F ( x) = 1 - e -3 x 令 y = F ( x) ( x 0) 随机变量的概率分布函数的反函数为： x = -(1/ 3) ln(1 - y) 生成该分布的随机变量的具体算法为： （1）产生独立的 U0,1随机数 u1, u2, , un ； （2）令xi = -(1/ 3) ln(1 - ui ) 则 x1, x2, , xn 即为所要求的随机数。,例2：产生均匀分布的随机变量,例3：产生三角分布的随机变量,离散型随机变量逆变换法步骤,例1,H公司的每天码头货物数量为0,1或2件。其概率为0.5,0.3,0.2。请产生服从该分布的随机变量。已知0,1之间的随机数R为 0.73. 解：p(0)=P(x=0)=0.5 P(1) =P(x=1)=0.3 P(2) =P(x=2)=0.2,1,2,R=0.73,0.5,x,F(x),0,1,如已知R=0.73,则X=1,或根据公式查表如下：,补：经验连续分布,如果建模者找不到能够为输入数据提供模型的理论分布，那么就必须采用数据的经验分布。 例：在研究消防队工作人员和消防员可能备选的调度策略的仿真中，收集到了消防队接到报警后的响应时间的5个观测值（min），数据如下：2.76 1.83 0.80 1.45 1.24,在收集更多的数据之前，希望以这5个观测值为基础的响应时间分布建立一个初始仿真模型。 首先，可以假设响应时间X的范围为0=X=c (c是未知的，但我们用观测值的最大值作为其估计值 ) 将观测数据由小到大排列，假定每个间隔的概率为1/n，n表示观测值的个数。 由此，可以得到经验分布函数的估计值,第i条线段的斜率是： 因此，当 i-1/nR=i/n时，计算cdf的逆：,0.5,1.0,3.0,2.5,2.0,1.5,x,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2,F(x),0,R1=0.71,X1,X1=1.45+1.90(0.71-0.60)=1.66,假设要生成随机变量X服从1/4到1之间的均匀分布，一种方法是： 步骤一：产生随机数R 步骤二：若R1/4，接受X=R；否则舍去R，转回步骤一 步骤三：重复该过程至结束 舍选技术的效率严重依赖于将拒绝数最小化的能力。,舍选法,比较一下令X=1/4+(3/4)R,若随机变量X的概率密度函数f(x)中的X值 的下限和上限各为a和b，f(x)的上界为c， 则用舍选法产生X的随机数的步骤如下： 1、产生两个独立随机数r1,r2 2、计算x0=a+r1(b-a),y0=cr2 3、y0f(x0)，则接收x0作为输出；否则 舍去该组数据，重新从1开始，重复此过程,a,c,y,b,O,x,y=f(x),x0,x0=a+r1(b-a),y0=cr2,舍去,选取,y=f(x0),图解舍选技术,用反变换技术产生随机数，需要对给定的分布密度函数f(x)进行积分求得F(x)，然后再对累积分布函数求反函数F-1(x)。这些变换处理往往比较困难，有时还是不可能的。 而舍选法只用到了密度函数f(x)，所以比较方便简单，但其效率低。,卷积法,两个或多个独立随机变量之和的概率 分布称为原始变量的卷积。 卷积法是指将两个或多个随机变量相 加以获得一个想要的新随机变量的方法。,爱尔朗分布,近似法,当分布函数很复杂时， 可通过近似分布生成随机变量， 中心极限定理是采用近似法生成随机变量的基础。若 U1, U2, Un 独立且同服从 U0,1分布，则Ui的均值和方差分别为：,根据中心极限定理，若 U1, U2, Un 独立且同服从 U0,1分布，则： 从而可得N(0,1)随机数的近似抽样公式为：,当n=12时，有： 利用上述公式，生成12个0,1区间上的随机数，可得到一个服从标准正态分布的随机数。,本节教学要求,理解线性同余法，掌握逆变法。,