轻松寒假，快乐复习30天第10天 空间角及距离（非向量法）思路点睛一求二面角的平面角的基本方法：1.定义法（点P在棱上）2.三垂线定理法（点P在一个半平面上），此法关键是找出线面（二面角中的某个）垂直，再过线上的点做棱的垂线。3.垂面法（点P在二面角内）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角。（或棱不出现，仅有一个交点出现时，过该交点存在两平面的公共垂面，公共垂面与原来两平面形成的角为二面角的平面角）4.射影面积法: 5.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。6.向量法（下节作业）二求空间距离的常用方法：直接法、转化法、体积法、找垂面法、向量法。三注意事项：一定要注意各角的范围，两条异面直线所成的角（0，2；线面角0，2;斜线与平面所成角（0，2）；二面角0，。典型试题1已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为A B C D【答案】C【解析】试题分析：如图：在正四棱锥中，连接AC与BD相交于一点O，连结OE，由于是的中点，所以OE/SD，故AEO即为直线所成的角；易知AOE是直角，又侧棱长与底面边长都相等，设棱长为2，则A0=，OE=1，AE=，所以有：cosAEO=;故选C2正方体，棱长为4，点到截面的距离为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：点到截面的距离为正方体的对角线的，即.3在长方体中，若分别为线段， 的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：取的中点G，连接EG、FG、，容易证明为直线与平面所成角，设AB=a，则，在三角形中可求出，在三角形中可求出，所以在三角形中可求出，答案选C.4.正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则下列命题中，错误的是( )AOABC是正三棱锥B直线OB平面ACDC直线AD与OB所成的夹角为45D二面角DOBA为45【答案】B【解析】构造图形，把此正四面体放在正方体中。可以判断A，C，D为真命题，直线OB与平面ACD相交，所以B为假命题5在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，ab，E、F分别是AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，当时，二面角CEFB的平面角的余弦值等于（ ）A0 B C D【答案】C【解析】由图可知，CE=BE=，当时，CB=。 为所求平面角，由余弦定理得cos。选C。6在正方体ABCD-ABCD中，AC和AB成角为 【答案】【解析】试题分析：由题意可得：在正方体ABCD-ABCD中，AC和AB成角即为AC和AB所成角，所以是.7到正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点：有且只有1个；有且只有2个；有且只有3个；有无数个其中正确答案的序号是_【答案】【解析】注意到正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线B1D上的每一点到直线AB，CC1，A1D1的距离都相等，因此到ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线距离相等的点有无数个，其中正确答案的序号是.8已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为 【答案】【解析】设B到面EFG的距离为h，由于，所以另一方面，所以，来源:学科网得即为B到平面GEF的距离。9.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为的菱形，BCD600，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA=2.（1）平面PBE与平面PAB的位置关系是 （2）平面PAD和平面PBE所成的二面角（锐角）的大小为 【答案】（1）垂直；（2）【解析】解：延长相交于点，连结.过点作于,由（1）知平面平面，所以平面.在中，因为,所以.在等腰中,取的中点,连接.则.连结.由三垂线定理的逆定理得，.所以是平面和平面所成的二面角的平面角（锐角）在等腰中,在中,所以，在中，故平面和平面所成的二面角的平面角（锐角）的大小是10.（能力提高）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于_【答案】16【解析】设两圆的公共弦AB的中点为D，则KDDA，ODDA，ODK即为圆O和和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以ODK60.由于O为球心，故OK垂直圆K所在平面，所以OKKD.在直角三角形ODK中，sin60，即OD，设球的半径为r，则DOr，所以r，所以r2，所以球的表面积为4r216. 11.如图，在三棱锥中，ACBDP（）求证：；（）求二面角的大小；来源:学科网ZXXK（）求点到平面的距离【答案】（）见解析；（）；（）【解析】解法一：（）取中点，连结，平面平面，（）ACBEP，又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，二面角的大小为（）ACBDPH由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中，点到平面的距离为解法二：（）取中点，连结，平面平面，（）ACBEP，又，又，即，且，来源:学科网ZXXK平面取中点连结，是在平面内的射影，是在平面内的射影，于是可求得：,则,设二面角的大小为，则二面角的大小为（）ACBDPH由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中，点到平面的距离为真题摘编（2013高考真题）如图，正三棱柱中，是中点ABCEB1A1C1（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的大小【答案】（1）见解析；（2）45【解析】（1）证明：如图，是正三棱柱， ABC是正三角形，E是AC中点，.又，平面 （2）解：如图，作，于G，连CG.平面， FG是CG在平面上的射影.根据三垂线定理得，CGF是二面角的平面角，设，则.在中，.在中，,在中，,.二面角的大小是45.来源:学科网在多年收治肝病、出血热、麻疹、艾滋病等传染病的临床实践中，逐步认识到中医药在传染病防治领域的优势，因此在制定医院长期发展规划中，有步骤的增加中医药在整体医疗工作中的比重，不断加强中医学科建设County continuation records has examined and approved the draft, spirit, believe, comprehensive Yearbook of zhuanglang already prepared draft, entered the phase of evaluation. Civil air defense work