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第一章 实数集与函数1 实数例1 设a,b为任意实数,证明: (1.2)证 我们将从函数的性质着手证明不等式.设=,x0,若0-1) (1.5)证 n=1时不等式(1.5)显然成立.现设n=m时不等式成立,即1+ ,其中符号相同且.当n=m+1时,因为1+0,利用n=m时的不等式,有=,其中最后不等式成立是由于与同号.再在不等式(1.5)中令,x-1,则有伯努利不等式1+nx (x-1).例4 证明柯西(Cauchy)不等式:设为两组实数,则有 (1.6)证 本例中将应用中学数学中二次三项式恒正的判别式来完成证明.设t为任何实数,t的二次三项式0,于是有0, 即 例5 设p,n,m. 证明:(1). (1.7)(2). (1.8)(3)试用归纳法证明: (1.9)证 (1) = =.(2)在(1.7)中设b=n+1,a=n,m=p+1,有,于是,这样就证得.(3)易证n=2时,当p为正整数时,.现设不等式(1.9)不n=m时成立,有, (1.10)当n=m+1时,由(1.8),(1.10)可得=.同样可证=.于是不等式(1.9)当n=m+1时也成立.2 数集确界原理例1 求数集S=的上、下确界.分析 当n=2k时,是偶数项中的最大数.当n=2k+1时,当k充分大时,奇数项与数1充分靠近.因为=是S中最大数,于是sup S=,由上面分析可以看出inf S=1.解 因为是S中最大数,于是sup S=.再证inf S=1,这是因为(i)1;(ii)设a=,由等式可知,于是(只要),使得,即,这样便证得inf S=1.例2 设数集S=,求sup S,inf S.解 不妨取验证相应数值,可以发现一些规律. 取得到数集S的子集S=;取又得到子集S=;因为是无上界数集,是无下界数集,所以sup S=+,inf S=-.例3 设数集S=,试求inf S,sup S.分析 因为数集S无上界,所以sup S=+.又因数1是S的下界,当有理数x充分小时,与1很靠近,于是可以推测1是S的下确界.解 先验证sup S=+.,有理数(设M1,只要),使得,于是S是无上界数集.按定义,sup S=+.再验证inf S=1:(i)1(x为有理数);(ii),由有理数的稠密性,有理数,使得,于是.由此可见infS=1.例4 设a为任意实数,A为R中非空有界数集,证明:sup(a+A) = a+sup A,inf(a+A) = a+inf A,其中.证 先证sup(a+A) = a+supA.由supA的定义,满足:(i),xsup A;(ii).于是又满足:(i),a+xa+sup A;(ii).因而证得.同理可证inf(a+A) = a+infA.例5 设A,B是数轴上位于原点右方的非空有界数集,记AB=,证明:sup AB = sup Asup B.证 先证sup ABsup Asup B.由上确界定义,xsup A,ysup B,因为x0,y0,所以xysup AsupB,这说明sup Asup B是AB的一个上界,于是sup ABsup Asup B.再证sup Asup Bsup AB.按上确界定义,(不妨设0,于是仍为一任意小的正数.这样证得sup ABsup Asup B.由此得到sup AB = sup Asup B.3 函数概念例1 模拟一个三级火箭,设各级质量分别为8000kg,4000kg,2000kg,燃料均匀消耗率为10kg/s,各级火箭燃烧时间分别为600s,300s,150s.每级火箭的燃料耗完后,外壳自行脱落,下一级火箭就开始燃烧,最后一级火箭燃烧完后成为人造卫星,绕地球运行.试写出火箭质量随时间变化的规律,并作图像.解 三级火箭初始总质量为14000kg,用G(t)表示火箭在时刻t时的质量.在开始600s内,即0t600时,有G(t)=14000-10t;在t=600s时,第一级火箭脱落,火箭瞬时质量变为6000kg.当600t1050时,G(t)=500.综上所述:14000-10t, 0t600,G(t)= 6000-10(t-600), 600t900,2000-10(t-900), 900t1050,500, 1050t.其图像如图1-1所示.例2 设,求.解 因为函数的值域包含于的定义域内,所以与可以复合,于是有;.由此可猜测,下面用数学归纳法证明.若,则.例3 设函数试求y=.解 首先观察到函数的值域包含在函数的定义域中,因而与可以复合.先求集合,解不等式1可得1|x|,此时有=1.又当|x|时,有,于是=0,这就得到= 1,1|x|,0, |x|.例4 证明恒等式arcsin x+arcos x = ,|x|1.证 当x=0时,等式显然成立.当0x1时,设=arcsin x,=arcos x,有sin=x,cos=x,于是,=1.因为0,0有0,所以,即,0x1.同理可证当-1x或a)都是对称的,则函数必为周期函数.证 因为函数的图形关于竖直线对称,于是,必有. (4.5)同理又有, (4.6)并可随之推得 由(4.6) 由(4.5)这表明是以为周期的周期函数.
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