初一数学竞赛讲座第11讲 染色和赋值染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言，染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题，一般地都可以用赋值方法来解，只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些，我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。一、染色法将问题中的对象适当进行染色，有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样，我们可以把被研究的对象染上不同的颜色，许多隐藏的关系会变得明朗，再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决，这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。例1 用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示），能否覆盖一个88的棋盘？解：如下图，将 88的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个88的棋盘，那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格，而1和3都是奇数，因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格，从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与32是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。例2 如左下图，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？解：甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。例3 88的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和9个41的长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。解：如下图，对88的棋盘染色，则每一个41的长方形能盖住2白2黑小方格，每一个22的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为32，是一个偶数，故这种剪法是不存在的。例4 在平面上有一个2727的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个99的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数增加了一个。这表明每走一步，每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。因为一开始时，81个棋子摆成一个99的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。例5 图1是由数字0，1交替构成的，图2是由图1中任选减1，如此反复多次形成的。问：图2中的A格上的数字是多少？解：如左下图所示，将88方格黑白交替地染色。此题允许右上图所示的6个操作，这6个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。所以图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于32，由（31A）-32=32，得出A=33。例6 有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是124。现在有一批现成的木箱，内空尺寸是666。问：能不能用这些商品将木箱填满？解：我们用染色法来解决这个问题。先将666的木箱分成216个小正方体，这216个小正方体，可以组成27个棱长为2的正方体。我们将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。容易计算出，有14个黑色的，有13个白色的。现在将商品放入木箱内，不管怎么放，每件商品要占据8个棱长为1的小正方体的空间，而且其中黑、白色的必须各占据4个。现在白色的小正方体共有813=104（个），再配上104个黑色的小正方体，一共可以放26件商品，这时木箱余下的是8个黑色小正方体所占据的空间。这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是容不下这件商品。因此不能用这些商品刚好填满。例7 6个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识。证明：存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）。证明：将每个人用一个点表示，如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段，否则就连一条蓝色线段。本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形。设这六个点为A，B，C，D，E，F。我们先证明存在一个同色的三角形：考虑由A点引出的五条线段AB，AC，AD，AE，AF，其中必然有三条被染成了相同的颜色，不妨设AB，AC，AD同为红色。再考虑BCD的三边：若其中有一条是红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则存在一个蓝色三角形。下面再来证明有两个同色三角形：不妨设ABC的三条边都是红色的。若DEF也是三边同为红色的，则显然就有两个同色三角形；若DEF三边中有一条边为蓝色，设其为DE，再考虑DA，DB，DC三条线段：若其中有两条为红色，则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的，则设其为DA，DB。此时在EA，EB中若有一边为蓝色，则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色，则又存在一个红色三角形。故不论如何涂色，总可以找到两个同色的三角形。二、赋值法将问题中的某些对象用适当的数表示之后，再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。常见的赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。例8 一群旅游者，从A村走到B村，路线如下图所示。怎样走才能在最短时间内到达B村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分）。解：我们先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边，从左到右，一一标注，如下图所示。由此不难看出，按图中的粗黑线走就能在最短时间（60分钟）内从A村走到B村。例9 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。解：假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数。但是，由观察可见，图中每个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数。这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方案不能实现。例10 平面上n（n2）个点A1，A2，An顺次排在同一条直线上，每点涂上黑白两色中的某一种颜色。已知A1和An涂上的颜色不同。证明：相邻两点间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。证明：赋予黑点以整数值1，白点以整数值2，点Ai以整数值为ai，当Ai为黑点时，ai=1，当Ai为白点时，ai=2。再赋予线段AiAi+1以整数值ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为2或4，两端异色的线段具有的整数值为3。所有线段对应的整数值的总和为（a1a2）（a2a3）（a3a4）（an-1an）a1an2（a2a3an-1）212（a2a3an-1）奇数。设具有整数值2，3，4的线段的条数依次为l，m，n，则2lm4n=奇数。由上式推知，m必为奇数，证明完毕。例11 下面的表1是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B，B变成CZ变成A）。问：能否经过若干次操作，使表1变为表2？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由。S O B RK B D ST Z F P H E X GH O C N R T B SA D V X C F Y A 表1 表2解：不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1，B用2Z用26代替）。这样表1和表2就分别变成了表3和表4。每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：12，23，2526，261。19 1521820 266168 15 3141 4 2224表31124198 5247 1820 2193625 1表4容易看出，每次操作使四个数字改变了奇偶性，而16个数字的和的奇偶性没有改变。因为表3中16个数字的和为213，表4中16个数字的和为174，它们的奇偶性不同，所以表3不能变成表4，即表1不能变成表2。例12 如图（1）（6）所示的六种图形拼成右下图，如果图（1）必须放在右下图的中间一列，应如何拼？解：把右上图黑、白相间染色（见上图）。其中有11个白格和10个黑格，当图形拼成后，图形（2）（4）（5）（6）一定是黑、白各2格，而图形（3）必须有3格是同一种颜色，另一种颜色1格。因为前四种图形，黑、白已各占24=8（格），而黑格总共只有10格，所以图形（3）只能是3白1黑。由此知道图（1）一定在中间一列的黑格，而上面的黑格不可能，所以图（1）在中间一列下面的黑格中。那么其它图形如何拼呢？为了说明方便，给每一格编一个数码（见左下图）。因为图（3）是3白1黑，所以为使角上不空出一格，它只能放在（1，3，4，5）或（7，12，13，17）或（11，15，16，21）这三个位置上。若放在（1，3，4，5）位置上，则图（6）只能放在（7，12，13，18）或（15，16，19，20）或（2，7，8，13）这三个位置，但是前两个位置是明显不行的，否则角上会空出一格。若放在（2，7，8，13）上，则图（2）只能放在（12，17，18，19）位置上，此时不能同时放下图（4）和图（5）。若把图（3）放在（7，12，13，17）位置上，则方格1这一格只能由图（2）或图（6）来占据。如果图（2）放在（1，2，3，4），那么图（6）无论放在何处都要出现孤立空格；如果把图（6）放在（1，4，5，10），那么2，3这两格放哪一图形都不合适。因此，图形（3）只能放在（11，15，16，21）。其余图的拼法如右上图。练习11 1.中国象棋盘的任意位置有一只马，它跳了若干步正好回到原来的位置。问：马所跳的步数是奇