控制理论专题实验倒立摆建模与控制预习报告院系：自动化系班级：自22姓名：张晓德学号：2012011413邮箱：zhangxdqh163.com目录1 倒立摆数学建模21.1倒立摆动力学方程21.2传递函数21.3状态空间方程31.4 判断系统的可控性41.5判断系统的可观性71.5 特征值规范型和可控规范型72 实验一 根轨迹方法控制实验92.1根轨迹分析92.2根轨迹校正器理论设计92.3根轨迹校正器进一步设计123 实验二：频域响应方法控制实验124 实验三 极点配置控制方法实验164.1 方法一：采用规范型的方法。164.2 方法二：采用改进算法17倒立摆建模与控制预习报告自动化系 自22 张晓德 20120114131 倒立摆数学建模1.1倒立摆动力学方程在忽略了空气流动和各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成导轨、小车和匀质杆组成的系统，其受力分析图如下所示倒立摆本体主要由小车和摆杆组成。运用牛顿力学原理，得到两部分的微分方程模型如下： （1）1.2传递函数我们需要将非线性的倒立摆模型在其工作点附近进行线性化。倒立摆的工作点就是它的平衡点，即 =0。当很小时（如 5），我们可以作如下的近似处理：sin , cos 1, 2 0 , 2 0对公式（1）进行化简可得 （2）假设模型的初始状态为零，对线性化后的微分方程（2）进行拉普拉斯变换得： （3）对上式进行推导，得到传递函数的表达式如下，其中A(s)为小车加速度（I）（II）（III）将已知数据（指导书12页）代入以上各式可得（I）（II）（III）1.3状态空间方程选定外力F 给小车施加的加速度a 为控制信号，而选取小车的位置 x 和倒立摆的角度 为输出变量，即，请根据线性化后的微分方程，建立倒立摆本体的状态空间方程其中结合（2）式可以得到如下的状态方程组 （4）将其写成矩阵的形式 （5）代入具体数值可得：1.4 判断系统的可控性 方法一：利用状态可控性的代数判据线性定常系统的状态完全可控的充分必要条件是，系统的可控性矩阵的秩为所以系统可控。方法二：对角线规范型判据系统完全可控的充要条件是对角规范型的输入系数没有全零行。求状态转移矩阵没有全零行，所以可控。方法三：线性定常系统可控的充要条件是状态系数矩阵A的任意特征值都满足对每个特征值进行判断 可以看出系统可控。1.5判断系统的可观性方法一：代数判据：线性定常系统完全可观的充要条件是：系统可观矩阵的秩为n，即所以系统可观。方法二：系统完全可观的充要条件是：不存在全零列，所以可控方法三：模态判据：线性定常系统完全可观的充要条件是：状态系数矩阵A的任意特征值都满足所以系统可观1.5 特征值规范型和可控规范型通过坐标变换的方法将上述的状态空间方程转化为特征值规范型和可控规范型，并给出相应的变换矩阵。特征值规范型由上述可知，特征值规范型为变换矩阵为：可控规范型关键代码如下求得，第一可控规范型为第二可控规范型是2 实验一 根轨迹方法控制实验2.1根轨迹分析当倒立摆系统的输入为小车的加速度a(t) = x(t)，输出为摆杆的角度(t)时，倒立摆系统的开环传递函数为：用MATLAB做出其根轨迹图该系统有两个极点为，根轨迹如下：系统有两个实极点，并且有一个极点为正，有一条根轨迹从该点出发跑到坐标原点，又从原点跑到正无穷。所以，不管增益如何改变，右半平面总会存在根轨迹，即系统不可能通过调整开环增益使系统稳定。为了使系统稳定并且改善动态性能，需要使根轨迹左移，即需要超前校正。2.2根轨迹校正器理论设计设计控制器，使得校正后系统稳定且满足在摆杆角度施加弧度信号时调整时间（的误差），超调量的瞬态性能指标。确定希望的闭环主导极点根据超调量 得 ，取根据调整时间 得 ，取所以希望的主导极点为计算出的闭环主导极点在未校正系统根轨迹的左侧，这也进一步说明应该进行超前校正。系统超前校正后，根轨迹向左方移动，可以使闭环系统有更高的稳定裕度以及更快的响应时间。计算所需的超前角设校正前的传递函数为，校正装置的传递函数为上述角度应增加才能满足幅角条件，即需要超前角选择超前校正装置传递函数的极点、零点以及增益采用做角平分线的方法求得 所以校正装置的传递函数形式应当为按照根轨迹的幅值条件可得 得出 闭环系统特性数据检验求出开环极点并作出根轨迹如下所示 可以看出根轨迹左移，虽然右侧也有一段根轨迹，但是只要有合适的增益，就能使系统保持稳定。求出系统的阶跃响应如下所示系统的超调量为，调整时间，可见超调量偏大，还需进一步校正。2.3根轨迹校正器进一步设计下面采用自动控制原理（第2版）（上册）493页介绍的对消极点的方法进行校正考虑消去校正前系统的极点，所以设校正装置的传递函数为计算超前校正装置传递函数的极点、零点以及增益由前面分析可知，希望的主导极点需要提供的超前角为 用作图的方法可以确定极点 按照根轨迹的幅值条件可得 得出 闭环系统特性数据检验做出根轨迹图和阶跃响应如下图所示（说明：此处MATLAB程序和上面基本一样，所以不再重复给出）可以看出，根轨迹相比未校正的系统左移，虽然右侧也有一段根轨迹，但是只要有合适的增益，就能使系统保持稳定。从阶跃响应来看，超调量，调整时间，均符合要求。3 实验二：频域响应方法控制实验根据前面得到的倒立摆系统的开环传递函数：在MATLAB中输入代码绘制出伯德图（Bode Plots）和奈奎斯特图（Nyquist Plots）如下所示根据奈奎斯特稳定性判据：闭环系统稳定的充要条件是：当从连续地变化到时，开环传递函数的轨迹逆时针包围复平面上的-1+j0点q周，其中q为右半平面的极点数。传递函数在右半平面有一个极点，但是奈奎斯特图并没有包围-1+j0点1周，所以该系统不稳定。需要超前校正满足静态位置误差常数KP的要求设超前校正装置的传递函数为 在之前的系统传递函数的基础上增加比例系数则校正后的开环传递函数为 取则 做出的波特图满足相角稳定裕量的要求从的波特图可以看出，系统的相角裕量为0，设计要求的相角裕量50，所以需要提供的超前角为，为了留有余地，最大提前量暂取，则 从图上可以看出剪切频率 考虑到超前校正带来的增益所以取 由 得 所以 得出校正后的开环传递函数为验证是否符合要求做出校正后系统的波特图如下所示：可以看出，系统的相角裕量约为57，满足设计要求从奈奎斯特图可以看出，传递函数的曲线逆时针绕点-1+j0一圈，说明校正后的系统稳定。4 实验三 极点配置控制方法实验根据倒立摆的状态空间方程，要求采用两种不同的方法，设计状态反馈矩阵，配置闭环系统的极点，使系统过渡过程时间，的误差，阻尼系数。要求阻尼系数，取，根据得出 ，取则希望的主导极点的位置为取 得出闭环系统的期望多项式=4.1 方法一：采用规范型的方法。计算开环受控对象的特征多项式第二种可控规范型的变换阵为所以实现闭环极点配置的状态反馈矩阵为关键代码如下4.2 方法二：采用改进算法 取可控性矩阵的逆矩阵的最后一行将开环状态系数矩阵代入期望特征多项式所以实现闭环极点配置的状态反馈矩阵为关键代码如下17