海南大学课程教学计划 1海南大学课程教学总结课程名称：高等数学（Advanced Mathematics）教学单位：信息科学技术学院 课程代码：07000106课程资源网址：http:/210.37.45.11/top.htm答疑信箱：18907628887189.cn教务处督导科电话：66279099； 信息学院教务科电话：66279136微积分学（下）-概括与总结第七章 多元函数微积分学71 空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标系的概念：1、空间直角坐标系的定义（略）空间中的任一点 M 有序数组（x,y,z）1 海南大学课程教学计划 2x,y,z 分别称为点 M 的横，纵，竖坐标。空间直角坐标系把空间分为八个部分-称为八卦限（如下图） xyozy面 面 面空 间 直 角 坐 标 系 共 有 八 个 卦 限 2、两点距离公式：d= = （空间）21M212121 )()()( zyx二、 理解向量的概念，掌握向量的线性运算1、向量的概念-向量的定义、 单位向量、 零向量、 负向量、相等的向量、 平行（共线）向量等；向量的表示法- 用有向线段表示： 或坐标表示：aAB；,axyz向量的模-向量的大小： 22axyz海南大学课程教学计划 3（方向余弦） 222222coscosxyzxzy,02、向量运算设 则,321321ba1） b2） （ 为数量）,3213） 31iabab4） .321bkji5）几个结论：夹角 23213213arcos, babb=0 ，及a02/,1,3.iabb及prj ( )= abaprj海南大学课程教学计划 4三、掌握平面与直线方程1、平面方程的几种形式1） 点法式方程： 0)()()(00 zCyBxA（其中 为平面 的法向量（ 的非 0 向量） ，,nBCn)是 上一个点）0,0(zyxM2） 一般式的方程：Ax+By+Cz+D=0 （ 为法向量，A,B,C 不全为 0 CBAn,）且：任一个平面可以用一个三元一次方程表示，反之亦然，即：一个平面与一个三元一次方程一一对应。3） 截距式方程： 1czbyax（其中：a,b,c 分别为平面在 x,y,z 轴上的截距）4） 三点式方程：=0 （其中: 333222111zyx 3,21),(,izyxMii为平面上不共线的三个点）海南大学课程教学计划 52、空间直线方程的几种形式1) 一般式方程为（交面式） 02211DzCyBxA2) 点向式（对称式、标准式）方程 pznymx0003) 参数式方程： （t 为参数）ptznymx0指出：一般式化为参数式时，m,n,p 与 的关系：iiCBA,m= n= P=21CB21A21即：m,n,p= 2211CBkji3、 位置关系：设直线 ，平面 ：Ax+By+Cz+D=0。pznymxl 000:则 与平面 的交角的正弦:l )20(|si 222 pnmCBA/l0ABncplCmLMs海南大学课程教学计划 6四、常见的曲面与曲线方程1球面方程： + + = )(02x)02y(2zR+ + = z2、椭球面 1ax22cby3、柱面方程 R4、旋转面方程 2yxz5、圆锥面 )xzor (22 y6、椭圆抛物面 byax27、双曲抛物面 z28、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的方程为 （一般式） ，在方程组中消去0),(zyxGF变量 z（或变量 ） ，得方程 H(x,y)=0，则方程 H(x,y)=0 叫做曲线,xy的投影柱面方程，而方程 叫做曲线 在 坐标面上投0),(zyxHxoy影曲线方程。海南大学课程教学计划 772 多 元 函 数 的 微 分 法一、理解多元函数极限与连续的概念 1、多元函数的概念-称二元以及二元以上的函数为多元函数。2、二重极限的定义- 0lim,xyfA求二重极限的方法类似一元函数求极限的方法（但罗必达法则不能用于求二重极限）3、二元函数的连续-若 则称, 0)zlim(or ),(),(limyx0x0 xfyfyf(x,y)在点（ ）连续。0,x连续的性质与一元函数连续的性质类同.二、理解偏导数与全微分的概念，掌握偏导数与全微分的计算方法1、偏导数或记为 、 或xyffyxfx),(),(lim),(0 xzfxz或记为 、 或 yfffyy ),(),(li),(0 yfy海南大学课程教学计划 8求法- - 视为常数； ),(yxfdz-视 为常数。,fyx2、全微分（二元）- ， ),(yxfzzdxdy(三 元）- zuufu),(3、 可微、可导、连续的关系（多元函数）可微 可导 连续 一 定不 一 定 不 一 定不 一 定存在连续的 可微 连续,xyf 一 定不 一 定 一 定不 一 定4、高阶偏导数二元二阶偏导数共有 4 个222,xyxyyxzfxfyzfxfy5、多元复合函数的求导法则，),(vufz),(),(yxv， xzx yvzuz6、 隐函数的微分法海南大学课程教学计划 9一元隐函数 的求导公式：0),(yxF),(dxyy二元隐函数 的求导公式0),(zyxF,xzy,yzFx三、理解方向导数与梯度的概念，掌握方向导数的求法1、方向导数若 在点 可微，则在该点它沿任何方向 的方向),(yxfz),(yxPl导数均存在，且 = （其中，lzcossyfxf分别为 与 X 轴和 Y 轴正向的交角， 为 的方,l ,l向余弦）且， yxcos,cs2、 梯度是一个向量 ，梯度的方向是方向导数变化),()yfxfgrad最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值。四、掌握多元函数极值的求法1、二元函数的极值（必要条件） 若 z= 在 点存在偏导数，且在 取得),(yxf0, 0,yx海南大学课程教学计划 10极值，则有 ， =0 0),(0yxf ),(0yxf（充分条件） 设 在 点的一个邻域内存在连续的一，z,二阶偏导数，且 ， =0 ；0),(0yxf ),(0yxf记 ， ， ；,AxBxy ),(0yxfC则 ，且 A 0（ ）时 为极大（小）012C）值时， 不是极值。022B）0,(yxf1、 条件极值 拉格朗日乘数法求某个函数 （目标函数）在某条件 （约束条件）下的极值，),(yxfz),(称为条件极值，求条件极值的方法有降元法，拉格朗日乘数法。降元法即把条件 代入目标函数 化为无条件极值求解的0),(),(yxfz方法。 拉格朗日乘数法即先构造函数： ；01 ),(),(),(yxfyxF（ 为待定常系数，称为拉格朗日乘数）求 ，解方程组02,0,xyxyF并 令，求出驻点 ；,0yFx0,y判别 是否极值? 并求之。03）,(f海南大学课程教学计划 117-3 重积分一、理解二重积分的概念与性质1、二重积分的定义：=,Dfxyd0lim,niif二重积分的几何意义-曲顶柱体的体积2、二重积分的性质: 1）. (k 为常数,S 为 D 域的面积,下同)Dkds当 k=1 时 D2）. ,Dkfxykfxyd3）. 1212,DDffxyd4）. 若 , 则12, ,DDDfxydfxydfxyd5）. 若 )(),(g),(则 ,DDfxydxyd特别地有- |,|Dffxyd6) (估值定理) 若 Mm)(D),(则 ,Dsfxys海南大学课程教学计划 127) (中值定理) 若 f(x,y) 在 D 域上连续,则在 D 内至少存在一点 ,使得,Dfxydfs、 掌握二重积分的计算1、二重积分在直角坐标下的累次积分法 （矩型） dcbabadcD xyfyxfxyf ),(),(),( 或（X型） baxDff )(21,),(（Y型） 21, ,dycfxyfd2、 二重积分在极坐标中的累次积分法极坐标中的二重积分变换公式为 ,cos,inDDfxydfd（再根据 D 域的形状化为二次积分）一般上，若 积分域 D 是圆形域、或环形域、或扇形域；被积函数 因子。xyyxf或含 有 2),(则选用极坐标求二重积分，其它情形选“直”求。*三、掌握重积分的应用1、几何方面的应用 海南大学课程教学计划 13求几何体的体积 ，或 DdyxfV),(dvV求曲面的面积设曲面 的方程为,xyxoyzf f且 存 在 着 连 续 的则曲面 的面积为： DydffS22)(1（曲面 的面积元素为： ）xydsffx2、物理方面的应用求平面（或空间）物体的质量 （平面） （ 为平面物体的质量，,DMxyd,xy下同）（平面） 的 面 积为常 数 DAyxxdAyxMxDDy )(),(1),( )(),(1),( 常 数 yxydAyxyDDx（平面）I IDxdyu),(2 Dydyxu),(220 ,yIxuydI IDby ),( Daxyx),(2海南大学课程教学计划 14第八章 无穷级数一、理解无穷级数的概念及性质，掌握级数收敛的必要条件和发散的充分条件1、无穷级数的概念1） 定义（P249）： - nn uu321其中： 称为无穷级数的一般项（通项） ；当 为常数（函nu n数）时 称为常数项（函数项）级数。1n2 ） 级数 的部分和-前几项和：1nu nkus13） 收敛与发散若 （存在） ，则称级数 收敛，且称 s 为级数snlim1nu的和，即 ； 若 不存在，则称1nu1nsnlim发散。1n2、级数的性质：1） 、设 ，则 与 的敛散性相同。0k1nu1nk海南大学课程教学计划 152） 、若 ， 收敛，则 亦收敛。1nu1nv 111)(nnvuvu3） 、级数 的前面加上或减去有限多项不改变其敛散性。1n4） 、