第一节 测量误差的基本概念,实验结果 - 实验数据 - 与其理论期望值不完全相同,一、测量误差的分类,（1）按误差本身量纲分类：,绝对误差和相对误差,（2）按误差出现的规律分类：,系统误差、随机误差和粗大误差, 系统误差（System error）,由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生,- 有规律可循,1、测量误差的分类,第二章 测量误差和不确定度,夏天摆钟变慢的原因是什么？,系统误差是有规律性的，因此可以通过实验的方法或引入修正值的方法计算修正，也可以重新调整测量仪表的有关部件予以消除。,再现性 - 偏差（Deviation）,理论分析/实验验证 - 原因和规律 - 减少/消除, 随机误差（Random error）,因许多不确定性因素而随机发生,偶然性（不明确、无规律）,概率和统计性处理（无法消除/修正）, 粗大误差（Abnormal error）,检测系统各组成环节发生异常和故障等引起,异常误差 - 混为系统误差和偶然误差 - 测量结果失去意义,分离 - 防止,产生粗大误差的一个例子,（3）按使用的工作条件分类：,基本误差和附加误差,基本误差指仪表在规定的标准（额定）条件下所产生的误差。,当仪表的使用条件偏离标准（额定）工作条件，就会出现附加误差。,（4）按误差的特性分类：,静态误差和动态误差,按误差出现的规律，将下列误差进行分类,1、用一只电流表测量某电流，在相同条件下每隔一定时间重复测量n次，测量数值间有一定的偏差。 2、用万用表测量电阻时，由于零点没有调整，测得的阻值始终偏大。 3、由于仪表放置的位置问题，使观测人员只能从一个非正常角度对指针式仪表读数，由此产生的读数误差。 4、由于仪表刻度（数值）不清楚，使用人员读错数据造成的误差。 5、用热电偶测量温度，由于导线电阻引起的测量误差。 6、要求垂直安装的仪表，没有按照规定安装造成的测量误差。,二、对测量结果评价的三个概念,（）精密度 （）正确度 （）精确度（准确度）,1,评价：随机误差比较小，系统误差比加大，精密度比较高。,2,评价：系统误差比较小，随机误差比较大，正确度比较高。,3,评价：系统误差与随机误差都比较小，精确度比较高！,新华网雅典8月22日专电 在雅典奥运会射击最后一天的比赛中，第一次参加奥运会的中国选手贾占波以1264.5环的成绩战胜夺金热门美国选手埃蒙斯，夺得男子50米步枪3x40比赛冠军。 主裁判瓦西里斯德里奥斯在赛后告诉新华社记者：“他（埃蒙斯）射中了其他选手的靶子”。,过失误差,精密度,它说明测量传感器输出值的分散值。,它说明传感器输出值与真值的偏离程度。,它是精密度与正确度两者的总和。,正确度,精确度（准确度）,常用质量名词术语,系统误差与随机误差的比较,第二节 随机误差的分布规律,N次测量结果 - xi ( i =1, 2, , N ),正态分布（高斯分布） - 大多数；,其它 - 正弦分布、二次分布、卡方分布、指数分布、 分布、 分布等,1、分布：,均匀分布 - 量化误差、舍入误差；,概率密度分布函数,均方根误差/标准差,误差 = x - x0, 对称性, 单峰性, 有界性, 抵偿性,实验标准差/样本标准差,每个测量值的变动越大，标准差也越大， 说明测量误差的分散性越大。,不同标准差的正态分布曲线,例2-1 在同样条件下，一组重复测量值的误差服从正态分布，求误差|不超过 ,2, 3的置信概率P 解: 根据题意, z=1,2,3。从表2-1上查得(1)=0.68269, (2)=0.95450, (3)=0.997300,因此： P|=0.68269 68.3% 相应的显著性水平 a=1-P=1-0.68269 =0.31731,二、正态分布的概率运算,(2) P|=2=0.95450 95.5% 相应的显著性水平 a=1-P=1-0.95450 =0.0455 (3) P|=3=0.9973 99.7% 相应的显著性水平 a=1-P=1-0.9973 =0.0027,P(),P=1-,-z 0 z ,图23 置信概率等在图形上的表示,/2,/2,第三节 直接测量值的误差分析与处理,子样：实际测量不可能无穷多次，只是测量“母体”的一部分 子样容量：子样中包含的测量个数，容量大的称大子样，容量小的称小子样 一般从子样来求母体特征参数和的最佳估计值,一、测量结果的表示 (1): 表示公式 多次重复测量的测量结果一般可表示为： 在一定置信概率下，以测量值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量 测量结果X子样平均值 置信区间半长（置信概率） 例如： （P=99.73%) （P=95.45%),二、真值的估计 真值的最佳估计值 ：即测量值子样平均值,三、标准误差的估算值S 贝塞尔公式（求母体标准误差的估计值 S） 真值未知，故用残差（剩余误差） 来求的估算值S ,（n-1)称为自由度。,如果知道约定真值，可用下式算标准误差估计值: 自由度为n。,四、算术平均值的标准误差 算术平均值 为服从正态分布的随机变量 平均值 的标准误差 为： （1）算术平均值的标准误差是测量值xi的标准误差S的 （2）多次重复测量取子样平均值具有更高精密度 n=20-30,（例12）对恒速下旋转的转动机械的转速进行了20次重复测量，得到如下一列测量值（单位为(r/min); 4753.1 4757.5 4752.7 4752.8 4752.1 4749.2 4750.6 4751.0 4753.9 4751.2 4750.3 4753.3 4752.1 4751.2 4752.3 4748.4 4752.5 4754.7 4750.0 4751.0 求该转动机械的转速（要求测量结果的置信概率为95）,五、举例说明测量结果的表示,解（1）计算测量值子样平均值： （2）计算标准误差估计值S: =2.0(r/min),(3)求子样本平均值的标准误差 (4)对于给定的置信概率，求置信区间半长a： 根据题意 当置信概率为 查表21得 z=1.96 所以 （r/min) 测量结果：X=4752.0 0.9（r/min,P=95%),六、单次测量结果表示 如实际做的是单次测量，但已知同样测量条件下的标准误差估计值S，则测量结果表示为 X单次测量值 3S (P=99.73%) X单次测量值 2S (P=95.45%) 【例23】在与上例同样的测量条件下，单次测量转动机械的转速为4753.1r/min,求该转动机械的转速（测量结果的置信概率仍要求为95）,（1）上例计算该测量条件下的标准误差估计值S=2.0r/min （2）给定的置信概率P=95%，求置信区间半长a 由置信概率P=95% 查表11得 z=1.96 所以 测量结果可表达为X=4753.1 3.9（r/min,P=95%),七、小子样误差分析 当子样容量小，如23个，如按上述方法推断 ，很不准确。子样容量愈小，问题越严重。 原因在于小子样的平均值偏离正态分布，服从t分布，当用小子样正态分布为条件求得的代替母体的 ，就产生较大的偏差,（1）解决方案：以t分布的置信系数t(,v)代替正态分布的置信系数z， t(,v) 可通过查表得到。t(,v) z实质增大了同样置信概率下的置信区间。,（2）小子样的测量结果表示: （在P置信概率下） （3）小子样单次测量结果表示： 已知同样测量条件下的标准误差估计值S （在P置信概率下）,（4）举例 例14用光学高温度计测某种金属固液共存点的温度(0C)，得到下列五个测量值；975，1005，988，993，987。试求该点的真实温度（要求测量结果的置信概率为95） 解：因为是小子样，采用t分布置信系数来估计置信区间。 (1) 求出五次测量的平均值,(2)求 的标准误差估计值 (3)根据给定的置信概率P=95%求得显著性水平a=1-P=0.05和自由度v=5-1=4，查表12，得t(0.05,4)=2.77。所以测量结果为 (P =95%) 即被测金属固液共存点温度有95的可能在温度976.20C，1003.00C,用正态分布求上题,从表2-1中查得z=1.96,可求置信区间为-9.20C,+9.20C,小于-13.40C,+13.40C,夸大了测量结果的精密程度。,980.20C，998.80C,976.20C，1003.00C,正态分布,t分布,第四节 间接测量误差分析与处理,在间接测量中，测量误差是各个测量值误差的函数。因此，研究间接测量的误差也就是研究函数误差。 研究函数误差有下列三个基本内容： 已知函数关系和各个测量值的误差，求函数即间接测量值的误差。 已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差。 确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最小值时的测量条件。,一、间接测量值的最佳估计值,设间接测量值y是直接测量值x1，x2，xm的函数，其函数关系的一般形式可表示为 y = f（x1，x2，xm） 则间接测量值的最佳估计值,间接测量值的最佳估计值可以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入函数关系式求得。,若各直接测量值彼此独立，,二、间接测量值的标准误差的估算,若各直接测量值有相关聊存在，要把其中相关的量分解为独立的基本量或测定相关系数,四、函数误差的分配,在间接测量中，当给定了函数y的误差 ，再反过来求各个自变量的部分误差的允许值，以保证达到对已知函数的误差要求，这就是函数误差的分配。 误差分配是在保证函数误差在要求的范围内，根据各个自变量的误差来选择相应的适当仪表。,1按等作用原则分配误差 等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相等，即 由此可得 如果各个测量值误差满足上式，则所得的函数误差不会超过允许的给定值。,2按可能性调整 因为计算得到的各个局部误差都相等，这对于其中有的测量值，要保证其误差不超出允许范围较为容易实现，而对于有的测量值就难以满足要求，因此按等作用原则分配误差可能会出现不合理的情况。 同时当各个部分误差一定时，相应测量值的误差与其传递函数成反比。所以尽管各个部分误差相等，但相应的测量值并不相等，有时可能相差很大。,由于存在以上情况，对等作用原则分配的误差，必须根据具体情况进行调整。 调整的基本原则： 测量仪器可能达到的精度 技术上的可能性 经济上的合理性 各直接测量量在函数中的地位,第五节 粗大误差的检验与坏值的剔除,一、 拉依达准则,该方法判别方便，但测量次数n需较大。,二、 格拉布斯准则,可用在测量次数不多的实验数据，且判别效果较好,测量值按大小排序 ，计算首尾测量值的格拉布斯准则数T：,若 则认为xi为坏值，应剔除。 T(n,a)为格拉布斯准则临界值，由子样容量n和所选取的显著性水平，查表2-3中查得。,【例25】有一组重复测量值(0C)xi（i=1,2, ,16): 39.44 39.27 39.94 39.44 38.91 39.69 39.48 40.56 39.78 39.35 39.68 39.71 39.46 40.12 39.39 39.76 试分别用拉依达准则和格拉布斯准则检验粗大误差和剔除坏值。 解 (1)按由小到大重排数据xi（i=1,2, ,16): 38.91 39.27 39.35 39.39 39.44 39.44 39.46 39.48 39.68 3