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高三数学第二轮专题复习系列(5)平面向量一、本章知识结构:二、高考要求1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类:1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强,难度大,以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用(在B类教材中).在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本.因此,掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题,有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容,作为学习解析几何的基本工具,在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形,它是考查的重点。总而言之,平面向量这一章的学习应立足基础,强化运算,重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章知识解决的问题也分为两类:一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题;另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形,并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时,一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识,并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想,所以要通过向量法和坐标法的运用,进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时,一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段,通过学习提高解决实际问题的能力。五、典型例题平面向量【例1】 在下列各命题中为真命题的是( )若=(x1,y1)、=(x2,y2),则=x1y1+x2y2若A(x1,y1)、B(x2,y2),则=若=(x1,y1)、=(x2,y2),则=0x1x2+y1y2=0若=(x1,y1)、=(x2,y2),则x1x2+y1y2=0A、 B、 C、 D、解:根据向量数量积的坐标表示;若=(x1,y1), =(x2,y2),则=x1x2+y1y2,对照命题(1)的结论可知,它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D),而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定,它一定是正确的、对命题(2)而言,它就是两点间距离公式,故它是真命题,这样就以排除了(C),应选择(B)、说明:对于命题(3)而言,由于=0=或=或x1x2+y1y2=0,故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲,x1x2+y1y2=0、但反过来,当x1x2+y1y2=0时,可以是x1=y1=0,即=,而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定,因此x1x2+y1y2=0),所以命题(4)是个假命题、【例2】 已知=(,1), =(1, ),那么,的夹角=( )A、30 B、60 C、120 D、150解:=(,1)(1,)=2=2,=2cos=【例3】 已知=(2,1), =(1,3),若存在向量使得:=4, =9,试求向量的坐标、解:设=(x,y),则由=4可得:2x+y=4;又由=9可得:x+3y=9于是有: 由(1)+2(2)得7y=14,y=2,将它代入(1)可得:x=3=(3,2)、说明:已知两向量,可以求出它们的数量积,但是反过来,若已知向量及数量积,却不能确定、【例4】 求向量=(1,2)在向量=(2,2)方向上的投影、解:设向量与的夹角、有cos= =在方向上的投影=cos=()=【例5】 已知ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(3,1),BC边上的高AD,求及点D的坐标、解:设点D的坐标为(x,y)AD是边BC上的高,ADBC,又C、B、D三点共线,又=(x2,y1), =(6,3),=(x3,y2)解方程组,得x=,y=点D的坐标为(,),的坐标为(,)【例6】 设向量、满足:=1,且+=(1,0),求,、解:=1,可设=(cos,sin), =(cos,sin)、+=(cos+cos,sin+sin)=(1,0),由(1)得:cos=1cos(3)由(2)得:sin=sin(4)cos=1cos=sin=,sin=或【例7】 对于向量的集合A=(x,y)x2+y21中的任意两个向量、与两个 非负实数、;求证:向量+的大小不超过+、证明:设=(x1,y1), =(x2,y2)根据已知条件有:x21+y211,x22+y221又因为+=其中x1x2+y1y2 1所以+=+=+【例8】 已知梯形ABCD中,ABCD,CDA=DAB=90,CD=DA=AB、求证:ACBC证明:以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系、如图,设AD=1则A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,1)=(1,1), =(1,1)=11+11=0BCAC、【例9】 已知A(0,a),B(0,b),(0ab),在x轴的正半轴上求点C,使ACB最大,并求出最大值、解,设C(x,0)(x0)则=(x,a), =(x,b)则=x2+ab、cosACB=令t=x2+ab故cosACB=当=即t=2ab时,cosACB最大值为、当C的坐标为(,0)时,ACB最大值为arccos、【例10】 如图,四边形ABCD是正方形,P是对角线BD上的一点,PECF是矩形,用向量法证明(1)PA=EF (2)PAEF证明:建立如图所示坐标系,设正方形边长为1,=,则A(0,1),P(,),E(1,),F(,0)=(,1), =(1, )(1)2=()2+(1)2=2+12=(1)2+()2=2+12=2,故PA=EF(2) =()(1)+(1)()=0 PAEF、【例11】 已知 求; 当k为何实数时,k与平行, 平行时它们是同向还是反向?解:= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , = =.k= k(1,0)(2,1)=(k2,1). 设k=(),即(k2,1)= (7,3), . 故k= 时, 它们反向平行.【例12】 已知与的夹角为,若向量与垂直, 求k.解:=21=1. 与垂直, ()= , 2 k = 5.【例13】 如果ABC的三边a、b、c满足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线, 求证:BECF.解:, 即 BECF .【例14】 是否存在4个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?解:如图所示,在正ABC中,O为其内心,P为圆周上一点,满足,两两不共线,有(+)(+)=(+)(+)=(2+)(2+)=(2)(2+)=422=422=0有(+)与(+)垂直、同理证其他情况、从而,满足题意、故存在这样4个平面向量、平面向量的综合应用1利用向量的坐标运算,解决两直线的夹角,判定两直线平行、垂直问题【例1】 已知向量满足条件,求证:是正三角形解:令O为坐标原点,可设由,即两式平方和为,由此可知的最小正角为,即与的夹角为,同理可得与的夹角为,与的夹角为,这说明三点均匀分部在一个单位圆上,所以为等腰三角形.【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解:如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系,设,则,从而可求:,=. .2利用向量的坐标运算,解决有关线段的长度问题【例3】 已知,AD为中线,求证证明:以B为坐标原点,以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系,设,则,.=,从而,.3利用向量的坐标运算,用已知向量表示未知向量【例4】 已知点是且试用解:以O为原点,OC,OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2,所以,易求,设.【例5】 如图,用表示解:以O为坐标原点,以OA所在的直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,则,.4利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】 如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD.(1)求证:C1CBD.(2)当的值为多少时,能使A1C平面C1BD?请给出证明. (1)证明:设=a, =b,=c,依题意,|a|=|b|,、中两两所成夹角为,于是=ab,=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解:若使A1C平面C1BD,只须证A1CBD,A1CDC1,由=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得当|a|=|c|时,A1CDC1,同理可证当|a|=|c|时,A1CBD,=1时,A1C平面C1BD.【例7】 如图,直三棱柱ABCA1B1C1,底面ABC中, CA=CB=1,BCA=90,AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长;(2)求cos的值;(3)求证:A1BC1M.解:(1)如图,以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz.依题意得:B(0,1,0),N(1,0,1)|=.(2)解:依题意得:A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2).=(0,1,2)=10+(1)1+22=3|=(3)证明:依题意得:C1(0,0,2),M()A1BC1M.5利用向量的数量积解决有关距离的问题,距离问题包括点到点的距离,点的线的距离,点到面的距离,线
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