【分支限界法】批处理作业调度问题 问题描述 给定n个作业的集合J1,J2,Jn。每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。 批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。 例：设n=3，考虑以下实例： 这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18。 限界函数 批处理作业调度问题要从n个作业的所有排列中找出具有最小完成时间和的作业调度，所以如图，批处理作业调度问题的解空间是一颗排列树。 在作业调度问相应的排列空间树中，每一个节点E都对应于一个已安排的作业集。以该节点为根的子树中所含叶节点的完成时间和可表示为： 设|M|=r，且L是以节点E为根的子树中的叶节点，相应的作业调度为pk,k=1,2,n，其中pk是第k个安排的作业。如果从节点E到叶节点L的路上，每一个作业pk在机器1上完成处理后都能立即在机器2上开始处理，即从pr+1开始，机器1没有空闲时间，则对于该叶节点L有：注：(n-k+1)t1pk,因为是完成时间和，所以，后续的(n-k+1)个作业完成时间和都得算上t1pk。 如果不能做到上面这一点，则s1只会增加，从而有：。 类似地，如果从节点E开始到节点L的路上，从作业pr+1开始，机器2没有空闲时间，则： 同理可知，s2是的下界。由此得到在节点E处相应子树中叶节点完成时间和的下界是： 注意到如果选择Pk，使t1pk在k=r+1时依非减序排列，S1则取得极小值。同理如果选择Pk使t2pk依非减序排列，则S2取得极小值。 这可以作为优先队列式分支限界法中的限界函数。 算法描述 算法中用最小堆表示活节点优先队列。最小堆中元素类型是MinHeapNode。每一个MinHeapNode类型的节点包含域x,用来表示节点所相应的作业调度。s表示该作业已安排的作业时x1:s。f1表示当前已安排的作业在机器1上的最后完成时间；f2表示当前已安排作业在机器2上的完成时间；sf2表示当前已安排的作业在机器2上的完成时间和；bb表示当前完成时间和下界。二维数组M表示所给的n个作业在机器1和机器2所需的处理时间。在类Flowshop中用二维数组b存储排好序的作业处理时间。数组a表示数组M和b的对应关系。算法Sort实现对各作业在机器1和2上所需时间排序。函数Bound用于计算完成时间和下界。 函数BBFlow中while循环完成对排列树内部结点的有序扩展。在while循环体内算法依次从活结点优先队列中取出具有最小bb值（完成时间和下界）的结点作为当前扩展结点，并加以扩展。 算法将当前扩展节点E分两种情形处理：1)首先考虑E.s=n的情形，当前扩展结点E是排列树中的叶结点。E.sf2是相应于该叶结点的完成时间和。当E.sf2 bestc时更新当前最优值bestc和相应的当前最优解bestx。 2)当E.sn时，算法依次产生当前扩展结点E的所有儿子结点。对于当前扩展结点的每一个儿子结点node，计算出其相应的完成时间和的下界bb。当bb bestc时，将该儿子结点插入到活结点优先队列中。而当bb bestc时，可将结点node舍去。 算法具体实现如下：1. #include2. 3. template4. classGraph;5. 6. template7. classMinHeap8. 9. template10. friendclassGraph;11. public:12. MinHeap(intmaxheapsize=10);13. MinHeap()deleteheap;14. 15. intSize()constreturncurrentsize;16. TMax()if(currentsize)returnheap1;17. 18. MinHeap&Insert(constT&x);19. MinHeap&DeleteMin(T&x);20. 21. voidInitialize(Tx,intsize,intArraySize);22. voidDeactivate();23. voidoutput(Ta,intn);24. private:25. intcurrentsize,maxsize;26. T*heap;27. ;28. 29. template30. voidMinHeap:output(Ta,intn)31. 32. for(inti=1;i=n;i+)33. coutai;34. coutendl;35. 36. 37. template38. MinHeap:MinHeap(intmaxheapsize)39. 40. maxsize=maxheapsize;41. heap=newTmaxsize+1;42. currentsize=0;43. 44. 45. template46. MinHeap&MinHeap:Insert(constT&x)47. 48. if(currentsize=maxsize)49. 50. return*this;51. 52. inti=+currentsize;53. while(i!=1&xheapi/2)54. 55. heapi=heapi/2;56. i/=2;57. 58. 59. heapi=x;60. return*this;61. 62. 63. template64. MinHeap&MinHeap:DeleteMin(T&x)65. 66. if(currentsize=0)67. 68. coutEmptyheap!endl;69. return*this;70. 71. 72. x=heap1;73. 74. Ty=heapcurrentsize-;75. inti=1,ci=2;76. while(ci=currentsize)77. 78. if(ciheapci+1)79. 80. ci+;81. 82. 83. if(y=heapci)84. 85. break;86. 87. heapi=heapci;88. i=ci;89. ci*=2;90. 91. 92. heapi=y;93. return*this;94. 95. 96. template97. voidMinHeap:Initialize(Tx,intsize,intArraySize)98. 99. deleteheap;100. heap=x;101. currentsize=size;102. maxsize=ArraySize;103. 104. for(inti=currentsize/2;i=1;i-)105. 106. Ty=heapi;107. intc=2*i;108. while(c=currentsize)109. 110. if(cheapc+1)111. c+;112. if(y=heapc)113. break;114. heapc/2=heapc;115. c*=2;116. 117. heapc/2=y;118. 119. 120. 121. template122. voidMinHeap:Deactivate()123. 124. heap=0;125. 2、6d9.cppcppview plaincopy1. /批作业调度问题优先队列分支限界法求解2. #includestdafx.h3.