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1、最值问题【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点,原来就各有一位民警值勤。为了保证安全,上级决定在沿途增加值勤民警,并规定每相邻的两位民警(包括原有的民警)之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米,乙丙相距8000米,丙丁相距4000米,那么至少要增加_位民警。 (中华电力杯少年数学竞赛决赛第一试试题)讲析:如图5.91,现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警,共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米,2个4000米,2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警,要求每两人之间距离相等,这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。由于2500、4000、2000的最大公约数是500,所以,整段路最少需要的民警数是(500080004000)5001=35(名)。例2 在一个正方体表面上,三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上,如图5.92所示,它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面,那么,应选择哪点会面最省时?(湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题) 讲析:因为三只蚂蚁速度相等,要想从各自的地点出发会面最省时,必须三者同时到达,即各自行的路程相等。我们可将正方体表面展开,如图5.93,则A、B、C三点在同一平面上。这样,便将问题转化为在同一平面内找出一点O,使O到这三点的距离相等且最短。 所以,连接A和C,它与正方体的一条棱交于O;再连接OB,不难得出AO=OC=OB。故,O点即为三只蚂蚁会面之处。【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c,并且abc。判断:图5.94的三个梯形中,第几个图形面积最大? (全国第二届“华杯赛”初赛试题)讲析:三个图的面积分别是:三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积,不变量是(abc)的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数,求这两个数为何值时,乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知,(ab)c这组数的值最接近。故图(3)的面积最大。例2 某商店有一天,估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后,能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润,售价应定为每个_元。(台北市数学竞赛试题)讲析:因为按每个100元出售,能卖出500个,每个涨价1元,其销量减少10个,所以,这种商品按单价90元进货,共进了600个。现把600个商品按每份10个,可分成60份。因每个涨价1元,销量就减少1份(即10个);相反,每个减价1元,销量就增加1份。所以,每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的(为60),根据等周长长方形面积最大原理可知,当把60分为两个30时,即每个涨价30元,卖出30份,此时有最大的利润。因此,每个售价应定为9030=120(元)时,这一天能获得最大利润。2、最值规律【积最大的规律】(1)多个数的和一定(为一个不变的常数),当这几个数均相等时,它们的积最大。用字母表示,就是如果a1+a2+an=b(b为一常数),那么,当a1=a2=an时,a1a2an有最大值。例如,a1+a2=10,;1+9=1019=9;2+8=1028=16;3+7=1037=21;4+6=1046=24;4.5+5.5=104.55.5=24.75;5+5=1055=25;5.5+4.5=105.54.5=24.75;9+1=1091=9;由上可见,当a1、a2两数的差越小时,它们的积就越大;只有当它们的差为0,即a1=a2时,它们的积就会变得最大。三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限,在此不一一举例。由“积最大规律”,可以推出以下的结论:结论1 所有周长相等的n边形,以正n边形(各角相等,各边也相等的n边形)的面积为最大。例如,当n=4时,周长相等的所有四边形中,以正方形的面积为最大。例题:用长为24厘米的铁丝,围成一个长方形,长宽如何分配时,它的面积为最大?解 设长为a厘米,宽为b厘米,依题意得(a+b)2=24即 a+b=12由积最大规律,得a=b=6(厘米)时,面积最大为66=36(平方厘米)。(注:正方形是特殊的矩形,即特殊的长方形。)结论2 在三度(长、宽、高)的和一定的长方体中,以正方体的体积为最大。例题:用12米长的铁丝焊接成一个长方体,长、宽、高如何分配,它的体积才会最大?解 设长方体的长为a米,宽为b米,高为c米,依题意得(a+b+c)4=12即a+b+c=3由积最大规律,得a=b=c=1(米)时,长方体体积为最大。最大体积为111=1(立方米)。(2)将给定的自然数N,分拆成若干个(不定)的自然数的和,只有当这些自然数全是2或3,并且2至多为两个时,这些自然数的积最大。例如,将自然数8拆成若干个自然数的和,要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢?我们可将各种拆法详述如下:分拆成8个数,则只能是8个“1”,其积为1。分拆成7个数,则只能是6个“1”,1个“2”,其积为2。分拆成6个数,可得两组数:(1,1,1,1,1,3);(1,1,1,1,2,2)。它们的积分别是3和4。分拆成5个数,可得三组数:(1,1,1,1,4);(1,1,1,2,3);(1,1,2,2,2)。它们的积分别为4,6,8。分拆成4个数,可得5组数:(1,1,1,5);(1,1,2,4);(1,1,3,3);(1,2,2,3);(2,2,2,2)。它们的积分别为5,8,9,12,16。分拆成3个数,可得5组数:(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4);(2,2,4);(2,3,3)。它们的积分别为6,10,12,16,18。分拆成2个数,可得4组数:(1,7);(2,6);(3,5);(4,4)。它们的积分别为7,12,15,16。分拆成一个数,就是这个8。从上面可以看出,积最大的是18=332。可见,它符合上面所述规律。用同样的方法,将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和,可发现6=3+3时,其积33=9为最大;7=3+2+2时,其积322=12为最大;14=3+3+3+3+2时,其积33332=162为最大;由这些例子可知,上面所述的规律是正确的。【和最小的规律】几个数的积一定,当这几个数相等时,它们的和相等。用字母表达,就是如果a1a2an=c(c为常数),那么,当a1=a2=an时,a1+a2+an有最小值。例如,a1a2=9,19=91+9=10;33=93+3=6;由上述各式可见,当两数差越小时,它们的和也就越小;当两数差为0时,它们的和为最小。例题:用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形,如何下料,材料最省?解 设长方形长为a分米,宽为b分米,依题意得ab=16。要使材料最省,则长方形周长应最小,即a+b要最小。根据“和最小规律”,取a=b=4(分米)时,即用16分米长的铁丝围成一个正方形,所用的材料为最省。推论 由“和最小规律”可以推出:在所有面积相等的封闭图形中,以圆的周长为最小。例如,面积均为4平方分米的正方形和圆,正方形的周长为8分米;而的周长小于正方形的周长。【面积变化规律】在周长一定的正多边形中,边数越多,面积越大。为0.4336=2.598(平方分米)。方形的面积。推论 由这一面积变化规律,可以推出下面的结论:在周长一定的所有封闭图形中,以圆的面积为最大。例如,周长为4分米的正方形面积为1平方分米;而周长为4分米的圆,于和它周长相等的正方形面积。【体积变化规律】在表面积一定的正多面体(各面为正n边形,各面角和各二面角相等的多面体)中,面数越多,体积越大。例如,表面积为8平方厘米的正四面体SABC(如图1.30),它每一个面均为正三角形,每个三角形面积为2平方厘米,它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米长约为1.1546厘米,体积约为1.539立方厘米。显然,正方体体积大于正四面体体积。推论 由这一体积变化规律,可推出如下结论:在表面积相等的所有封闭体中,以球的体积为最大。例如,表面积为8平方厘米的正四面体,体积约为1.1697立方米;表面积为8平方厘米的正六面体(正方体),体积约为1.539立方厘米;而表面积是8平方厘米的球,体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。【排序不等式】 对于两个有序数组:a1a2an 及b1b2bn,则a1b1+a2b2+anb抇n(同序)Ta1b抇1+a2b抇2+anb抇n(乱序)a1bn+a2bn-1+anb1(倒序)(其中b抇1、b抇2、b抇n为b1、b2、bn的任意一种排列(顺序、倒序排列在外),当且仅当a1=a2=an,或b1=b2=bn时,式中等号成立。)由这一不等式可知,同序积之和为最大,倒序积之和为最小。例题:设有10个人各拿一只水桶,同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、九、十个人的桶,分别需要1、2、3、9、10分钟。问:如何安排这10个人的排队顺序,可使每个人所费时间的总和尽可能少?这个总费时至少是多少分钟?解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为:1,2,3,9,10。打水时,等候的人数为第二个有序数组,等候时间最长的人数排前,这样组成1,2,3,9,10。根据排序不等式,最小积的和为倒序,即110+29+38+47+56+65+74+83+92+101=(110+29+38+47+56)2=(10+18+24+28+30)2=220(分钟)其排队顺序应为:根据注满一桶水所需时间的多少,按从少到多的排法。3、最优方案与最佳策略 【最优方案】例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品,按工艺规定,每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时;每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。已知A、B、C、D四台设备,每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润200元,生产一件乙产品得利润300元。问:每天如何安排生产,才能得到最大利润?(中国台北第一届小学数学竞赛试题)讲析:设每天生产甲产品a件,乙产品b件。由于设备A的转动时间每天最多为12小时,则有:(2a2b)不超过12。又(a2b)不超过
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