1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性,引入1 如图为我市某日24小时内的气温变化图观察这张气温变化图：,引入2 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据,数据表明，记忆的数量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：,100,思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个实验， 你打算以后如何对待刚学过的 知识? 思考2: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？,1.理解单调函数的定义；（重点） 2.理解增函数、减函数的定义；（重点） 3.掌握定义法判断函数单调性的步骤；（难点） 4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间.,我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律.,探究点 函数单调性的定义,这种函数在其定义域的一个区间上函数值随 着自变量的_的性质我们称之为“函 数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的 一个区间上函数值随着自变量的_的 性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”.,如何用函数的解析式和数学语言进行描绘？,增大而增大,增大而减少,对函数f(x)=x2而言，“函数值在（0，+）上随 自变量的增大而增大”，可以这样描述：在区间 （0，+）上任取两个实数x1,x2,得到函数值 f(x1)=x12,f(x2)=x22，当x1x2时，有_ 请同学们用数学语言描述函数f(x)在（-，0上 函数值随自变量的增大而减小的情况.,f(x1)f(x2).,一般地，设函数f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值 ，当 时，都有_，那 么就说函数 在区间D上是增函数,函数单调性的相关概念,f(x1)f(x2),如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值 ，当 时，都有_，那 么就说函数 在区间D上是减函数,如果函数y=f(x)在区间D上是_， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调 性，区间D叫做y=f(x)的单调区间,f(x1)f(x2),增函数或减函数,第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)f(x2),而不能是f(x1)f(x2) (或f(x1)f(x2);,对函数单调性的理解,第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念;,第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双向使用的.,例1.下图是定义在区间-5,5上的函数y=f(x)，根据 图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?,解：函数 的单调区间有,其中 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数,整个上午（8：0012：00）天气越来越暖， 中午时分（12：0013：00）一场暴风雨使天气骤 然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳 下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00 20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并 说出所画函数的单调区间.,解：单调增区间是 8,12）,13,18）; 单调减区间是 12,13）,18,20.,【变式练习】,作差变形,定号,判断,取值,证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+)上的任意两个实数，且V1V2,所以，函数 V(0,+)是减函数，也就是说，当体积减小时，压强p将增大.,取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1x2; 作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形; 定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论; 判断：根据定义得出结论.,利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:,【提升总结】,画出反比例函数f(x)= 的图象. （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？ 证明你的结论.,探究实践,函数图象如图,思考交流,解析：直线y=kx+b在k0时，单调递减. 2a-10,即a,D,2.函数 的单调增区间是_.,3.函数 f(x)=x2-2ax+3在(-，4上是减函数，则 a的取值范围为_,4，+),提示：可利用函数图象求解.,（1，+）,4.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.,解：函数的单调区间是-1,0）,0,2）,2,4）,4,5. 在区间-1,0）,2,4）上，函数是减函数； 在区间0,2）,4,5上，函数是增函数.,5.证明函数 在区间 上是增函数.,证明：任取 ，且 ，,则,因为,得,所以函数 在区间-2,+)上是增函数,1.函数的单调性定义的内涵与外延： 内涵:是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况； 外延:一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减. 几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.,3. 证明函数的单调性的基本步骤是： （1）取值； （2）作差变形； （3）定号； （4）判断.,2.函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内.,如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵.,