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初三数学典型题1、有两个一元二次方程:M:N:,其中,以下列四个结论中,错误的是A、如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根;B、如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同;C、如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根;D、如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是【试题分析】 本题是关于二元一次方程的判别式,及根与系数的关系:A、M有两个不相等的实数根0即而此时N的判别式,故它也有两个不相等的实数根;B、M的两根符号相同:即,而N的两根之积0也大于0,故N的两个根也是同号的。C、如果5是M的一个根,则有:,我们只需要考虑将代入N方程看是否成立,代入得:,比较与,可知式是由式两边同时除以25得到,故式成立。 D、比较方程M与N可得: 故可知,它们如果有根相同的根可是1或-1答案为:D2. 有一批图形计算器,原售价为每台800元,在甲、乙两家公司销售,甲公司用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台每台都为760元,依此类推,即每多买一台则所买各台单价均再减20元,但最低不能低于每台440元;乙公司一律按原售价的75%促销,某单位需购买一批图形计算器:(1)若此单位需购买6台图形计算器,应去哪家公司购买花费较少?(2)若此单位恰好花费7500元,在同一家公司购买了一定数量的图形计算器,请问是在哪家公司购买的,数量是多少?解:(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6(800-206)=4080(元),在乙公司购买需要用75%8006=3600(元)4080(元),应去乙公司购买;(2)设该单位买x台,若在甲公司购买则需要花费x(800-20x)元;若在乙公司购买则需要花费75%800x=600x元;若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器,则有x(800-20x)=7500,解之得x=15,x=25,当x=15时,每台单价为800-2015=500440,符合题意;当x=25时,每台单价为800-2025=300440,不符合题意,舍去,若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器,则有600x=7500,解之得x=12.5,不符合题意,舍去,答:该单位是在甲公司购买的图形计算器,买了15台。3. 在等腰三角形ABC中BC=8,AB,AC的长是关于x的方程X2-10x+m=0的两个根,求m的值.分析:等腰ABC中,BC可能是方程的腰也可能是方程的底边,应分两种情况进行讨论当BC是底边时,AB=AC,则方程x2-10x+m=0有两个相等的实根,即=0,即可得到关于m的方程,求得m的值;当BC是腰时,则方程一定有一个解是x=8,根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边即底边,与m的值解答:解:在方程x2-10x+m=0中,x1+x2=-b a =10,当这两边是等腰三角形的腰时,有x1=x2=5,x1x2=25=m,当有两边的长都为8时,有8+x2=10,x2=2,m=x1x2=28=16,m=25或16 4. 将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由解:(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为(5x)cm,依题意列方程得x2+(5x)2=17,整理得:x25x+4=0,(x4)(x1)=0,解方程得x1=1,x2=4,14=4cm,204=16cm;或44=16cm,2016=4cm因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm;(2)两个正方形的面积之和不可能等于12cm2理由:设两个正方形的面积和为y,则y=x2+(5x)2=2(x)2+,y=120,当x=时,y的最小值=12.512,两个正方形的面积之和不可能等于12cm2;(另解:由(1)可知x2+(5x)2=12,化简后得210x+13=0,=(10)24213=40,方程无实数解;所以两个正方形的面积之和不可能等于12)5.在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元(1)求每张门票原定的票价;(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率(1)解:设每张门票原定的票价元 由题意得: 解得:=400经检验:=400是原方程的解 答:每张门票原定的票价400元 (2)解:设平均每次降价的百分率为 由题意得: 解得:(不合题意,舍去)答:平均每次降价的10% 6.在某市开展的环境创优活动中,某居民小区要在一块靠墙(墙长15米)的空地上修建一个巨型花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围成,若设花园靠墙的一边长为x(m),花园的面积为y(m)。 在某市开展的环境创优活动中,某居民小区要在一块靠墙(墙长15米)的空地上修建一个巨型花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围成,若设花园靠墙的一边长为x(m),花园的面积为y(m)。 1.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。2.满足条件的花园面积能达到200m吗?若能,求出此时x的值,若不能,说明理由。3.根据(1)中求得的函数关系式,判断当x取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少? 1.y=(40-x)/2x (0x40)2.不能此时X就等于203.花园面积最大为200m27.如图所示,一单杠高2.2米,两立柱之间的距离为1.6米,将一根绳子两端栓于立柱之间与鉄杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线形状。一身高为0.7米的小孩站在离立柱0.4米处,其头部刚好触上绳子,求绳子最低点到地面的距离。解:(1)如图,建立直角坐标系,设二次函数为:y=ax2+cD(-0.4,0.7),B(0.8,2.2) 0.16a+c=0.70.64a+c=2.2 a=258c=0.2绳子最低点到地面的距离为0.2米(2)分别作EGAB于G,EHAB于H,AG= 12(AB-EF)= 12(1.6-0.4)=0.6在RtAGE中,AE=2,EG= AE2-AG2=22-0.62=3.641.92.2-1.9=0.3(米)木板到地面的距离约为0.3米 8. 某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元,如果平均每月的增长率为x,则根据题意列出的方程应为_ 二月份的营业额为200(1+x),三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x,为200(1+x)(1+x),则列出的方程是200+200(1+x)+200(1+x)2=10009.某超市一月份的营业额为200万元,三月份的营业额为288万元,如果每月比上月增长的百分数相同,则每月平均增长率为多少?设增长率为X由题意得:2001X288X0.210.二次函数y=x2+bx+c中,则b+c=0,则它的图象必经过下列四点中的( D )A(1, 1) B(1, 1) C(1, 1) D(1, 1)解析:【解答】解:当x=1时,二次函数y=x2+bx+c变为:y=1+b+c=1+(b+c), b+c=0, y=1+0=1, 这个定点是:(1,1). 考点:二次函数图象上点的坐标特征11.无论m为何实数,二次函数y=x2-(2-m)x+m的图象总是过定点(C)A(1,3) B(1,0) C(-1,3) D(-1,0)原式可化为y=x2-(2-m)x+m=x2-2x+m(1+x),二次函数的图象总过该定点,即该定点坐标与m的值无关,于是1+x=0,解得x=-1,此时y的值为y=1+2=3,图象总过的定点是(-1,3)故选C12. 某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克(1)当每千克涨价为多少元时,每天的盈利最多?最多是多少?(2)若商场只要求保证每天的盈利为6000元,同时又可使顾客得到实惠,每千克应涨价为多少元?(1) 设每千克涨价x元,利润为y元,由题意,得y=(10+x)(500-20x),=-20x2+300x+5000当x=7.5时,y最大值=6125(2) 当y=6000时,6000=(10+x)(500-20x),解得:x1=10,x2=5,要使顾客得到实惠,x=5答:每千克应涨价为5元13. 某商场销售一种进价为20元/台的台灯,经调查发现,该台灯每天的销售量w(台),销售单价x(元)满足w=-2x+80,设销售这种台灯每天的利润为y(元)(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当销售单价定为多少元时毎天的利润最大?最大利润多少?(3)在保证销售量尽可能大的前提下该商场每天还想获得150元的利润,应将销售单价定位为多少元?解:(1);(2) 当x=30时,最大利润为y=200元;(3)由题意,y=150,即解得,又销售量w=-2x+80随单价增大而减小,故当x=25时,既能保证销售量大,又可以每天获得150元的利润。14.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2? 解:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m 由题意得 x(25-2x+1)=80, 化简,得x-13x+40=0, 解得:x1=5,x2=8, 当x=5时,26-2x=1612当x=8时,26-2x=1012, 答:所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m 15.如图,平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心,顶点A,B的坐标分别为(1,1)(-1,1),把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45得到正方形ABCD则正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分形成的正八边形的边长为 16.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为(1,),则点C的坐标为() A(,1) B (1,) C (,1) D (,1)解:如图,过点A作ADx轴于D,过点C作CEx轴于E,四边形OABC是正方形,OA=OC,AOC=90,COE+AOD=90,又OAD+AOD=90,OAD=COE,在AOD和OCE中,AODOCE(AAS),OE=AD=,CE=OD=1,点C在第二象限,点
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