43第3章 刚体定轴转动和角动量守恒定律在前几章质点运动中，我们忽略了物体自身大小和形状，将物体视为质点，用质点的运动代替了整个物体的运动。但是在实际物体运动中，不仅物体在大小和形状千差，而且运动又有平动和转动之别。这时我们需要另一个突出主要特征，忽视其次要因素，既具有大小又具有形状的理想模型刚体。在受力的作用时，其形状和体积都不发生任何变化的物体，称做刚体。本章将介绍刚体所遵从的力学规律，重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。由于刚体转动的基本概念和原理与前几章质点运动的基本概念和原理相似，因此我们将刚体转动与质点运动对比学习一会事半功倍。3-1 刚体定轴转动1. 刚体运动的形式刚体的运动可以分为平动、转动及平动与转动的叠加。图3-1刚体的平动平动的定义为，在刚体在运动过程中，刚体中任意两点的连线始终平行。如图5-1所示。由于平动时刚体内各点的运动情况都是一样的，因此描述刚体平动只需要描写刚体内一点的运动，也就是说刚体的平动只要用其中一个点的运动就可以代表它整体的运动。图3-2 刚体定轴转动转动的定义为，刚体运动时，刚体中所有质点都绕同一条直线作圆周运动，这条直线称为转轴。转轴可以是固定的，也可以是变化的。若转轴固定，称为刚体定轴转动。若转轴不固定，运动比较复杂。刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。平动在前几章已经研究过，本章我们主要研究定轴转动。2. 刚体的定轴转动研究刚体绕定轴转动时，选与转轴垂直的圆周轨道所在平面为转动平面。由于描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一样的，因此描述刚体运动时用角量较为方便。因为刚体上各质元的半径不同，所以各质元的速度和加速度不相等。角速度和角加速度一般情况下是矢量，由于刚体定轴转动时角速度和角加速度的方向沿转轴方向，因此可用带有“+、-”的标量表示角速度和角加速度。这种方法我们并不陌生，质点作直线运动时我们也是用带有“+、-”的标量表示速度和加速度。角速度的大小为 （3-1）它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。角加速度为 （3-2）它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。离转轴的距离为的质元的线速度和刚体的角速度的关系为： （3-3）其加速度和刚体的角加速度的关系为： （3-4） （3-5）3-2 刚体的转动动能 转动惯量1 刚体的转动动能刚体绕定轴转动时，刚体中各质元都绕定轴作圆周运动，因而都有动能，刚体的转动动能等于刚体中所有质元的动能之和，可表示为 （3-6）式中，为刚体对定轴的转动惯量，所以刚体绕定轴转动的动能 （3-6）即刚体绕定轴转动的动能等于刚体的转动惯量和角速度平方的乘积的一半。质点的动能：，刚体转动的动能：；刚体定轴转动的动能与质点的动能表达形式相似，刚体的转动惯量J是刚体绕定轴转动的惯性大小的度量，其在定轴转动中的地位与平动时质量m的地位相似，转动中的角速度与平动中的速度地位相似。2. 刚体的转动惯量从刚体定轴转动的动能可知，刚体的转动惯量J和质点的质量m相对应。质量m是物体平动惯性大小的量度，质量越大的，它的速度越不易改变。刚体的转动惯量J是物体转动惯性大小的量度。转动惯量J越大的，它的角速度越不易改变。根据转动惯量的定义： 转动惯量J等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。对于质点连续分布的刚体，上述求和可以用定积分代替，即 （3-7）式中，r为刚体内任意质元dm到转轴的垂直距离。转动惯量的物理意义:刚体对定轴的转动惯量等于刚体中各质元的质量和它们各自离该轴的垂直距离的平方的乘积的总和，它的大小不仅与刚体的总质量有关，而且和质量相对于轴的分别有关，其关系可概括如下1) 形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大；2) 刚体总质量相同，质量分布离轴越远，转动惯量越大；3) 同一刚体，转轴不同，质量分布就不同，因而转动惯量就不同。在国际单位制中，转动惯量的单位是千克米2，符号为kgm。例3-1一根质量为m、长为l的均匀细棒，绕通过棒的中心(质心)并与棒相垂直的转轴旋转，求细棒对转轴的转动惯量。解：将棒的中点取为坐标原点，建立坐标系Oxy，取y轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx，其质量为 由式 有 例3-2 求质量为，半径为，厚度极薄的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过其圆心，如图所示。解：根据转动惯量的定义式，又因为环上各质元到轴的垂直距离为R，且都相等，所以由于转动惯量是可叠加的，所以一个质量为，半径为的薄圆筒对其轴的转动惯量也是。例3-3 求质量为，半径为，厚度为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与圆盘平面垂直并通过其圆心，如图所示。解：根据转动惯量的定义式，又因为圆盘可以认为是由许多原环组成。取任一半径为，宽为的薄圆环，其转动惯量为，式中为薄圆环的质量，以表示圆盘的体密度，则，所以，故圆盘的转动惯量为 表2-2常见刚体的转动惯量3. 平行轴定理图2-3平行轴定理平行轴定理常用于求转动惯量。可以证明，如果刚体对过质心C的轴的转动惯量为JC，则对另一与此轴平行的任意轴的转动惯量为 (3-8)其中m为刚体的质量，d为两平行轴之间的距离。这就是平行轴定理。由此可知，刚体对通过质心的轴的转动惯量JC最小，而对任何与过质心的轴平行的轴的转动惯量J都大于JC。例3-4 一根质量为m、l的均匀细棒，绕通过棒的一端并与棒相垂直的转轴在旋转，求细棒对转轴的转动惯量解法1(定义法)：将棒的中点取为坐标原点，建立坐标系Oxy，取y轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx，其质量为 由式 有 解法2(平行轴定理法)：将例题3-4看为例题5-1的转轴由质心向外平移了，根据平行轴定理，则有 利用平行轴定理不仅可以方便地计算转动惯量，而且对研究滚动问题也是大有帮助的。3-3 刚体定轴转动定律在解决质点的运动问题时，牛顿第二定律非常有效，那么，如何解决刚体的运动问题呢？1. 力对定轴的力矩日常生活经验告许我们，用同样大小的力推开门，当作用点靠近门轴时，不容易把门打开；当作用点远离门轴时，门就容易推开；当力的作用线通过门轴或力的方向和门轴平行时，就不能把门推开。实践表明，为了改变刚体原来的运动状态，必须对刚体施加作用力。外力对刚体转动的影响，不仅与作用力的大小有关，而且与力的方向和作用点的位置有关，即要改变刚体原来的运动状态就必须考虑作用力的大小、方向和作用点三要素。为此，我们引入力矩这一物理量。图3-5 力矩如图所示，设转轴O垂直于刚体的转动平面，力和作用点的矢径都在平面内，力与矢径的夹角为，我们定义作用力对转轴的力矩为 (3-9)力矩的大小为 (3-10)令，则d是转轴O与作用力线间的垂直距离，称为力臂。力矩方向用右手螺旋法则确定：伸出手掌，四指先指向矢径方向，沿小于180度转向作用力的方向，则拇指所指方向就是力矩的方向。如图3-29所示。如果外力不在垂直转轴的平面内，可将分解为两个分力，一个分力在垂直于转轴的平面内，另一个分力与转轴平行，对刚体的转动不起作用。当刚体同时受到几个力矩作用时，合力矩等于各个力矩的代数和。在国际单位制中，力矩的单位是牛顿米，符号为Nm。2. 转动定律在研究质点运动时，牛顿第二定律给出了合外力和加速度的关系。在研究刚体的运动时，由于刚体用各质点的合内力为0，在此不讨论合内力矩。刚体在外力矩的作用下作定轴转动，我们可以将刚体划分为n个质元，每一质元的运动均应遵守牛顿运动定律，即 对质元的力矩 (3-11)此式表明刚体做定轴转动时，刚体对定轴的转动惯量与其角加速度的乘积等于刚体所受外力的合外力矩，称为刚体定轴转动定律。牛顿第二定律是解决质点运动问题的基本方程，转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。如果刚体所受的合外力矩为零，则由转动定律可知角加速度为零，即刚体处于静止或匀角速转动状态。例3-5 一个转动惯量为5 kgm2、直径为0.50 m的飞轮，正以角速度120 rad / s的旋转现用闸瓦将其制动，如果闸瓦对飞轮的正压力为1000N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0. 60。求：1) 从开始制动到停止，飞轮转过的角度；2) 闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。解：1) 为了求得飞轮从制动到停止所转过的角度，必须先求得摩擦力、摩擦力矩M和飞轮的角加速度。如图所示，飞轮的转轴垂直于纸面，角速度沿着转轴并指向读者，我们取角速度的方向为z轴正方向。摩擦力的大小等于摩擦系数与正压力的乘积，即 摩擦力的方向如图所示。摩擦力对z轴力矩M的方向与角速度方向相反，沿z轴的负方向，故需取负值，大小为 根据转动定理，可知飞轮受到摩擦力矩作用时的角加速度为负值，即 对于匀变速转动，从开始制动到停止，飞轮转过的角度可由求得，即例3-6 一均匀细捧长L，如图所示悬挂。求将A端悬线剪断瞬间。细捧绕O的角加速度。解：设棒的质量为m。由于O点悬线张力通过O点。对O的力矩为零，所以在A点悬线剪断瞬间，棒所受的力矩仅有重力力矩。对过O且垂直于纸面的转轴有 M=mgL/4 以O为原点建立如图所示坐标系，棒对过O且垂直于纸面的轴的转动惯量为 3-4 刚体转动的功和能1. 力矩的功 我们已经知道，如果质点在外力作用下沿力的方向位移则力对质点作功，且功可由作用力和质点在作用力下沿力的方向位移的乘积表示。刚体转动过程中力作的功以力矩的形式表示，力矩作功的情况与质点运动过程中外力作功的定义类似。刚体在外力的作用下沿圆周轨道运动了，绕转轴角位移，从转轴到力的作用点的矢径为，则力的作用点的位移的大小为，因而有 （3-12）将力矩代入，因此有 （3-13）即力对转动刚体作的元功等于相应的力矩和该力矩作用下所发生的角位移的乘积。则此力矩对刚体做功为 （3-14）上式称为力矩的功，力矩所做的功，实质上仍是力所做的功。如果刚体同时受几个力的作用，则力矩应理解为这几个力的合力矩。根据功率的定义，可得力矩的功率为 （3-15）力矩做功的功率等于力矩和刚体角速度的乘积，当力矩与角速度同向时功率为正，反之为负。 这里的功的SI单位是焦耳（J），功率的SI单位是瓦特（W），和质点力学中的一致。2. 定轴转动的动能定理质点的动能定理是由牛顿第二定律导出的，相类似的是刚体转动的动能定理将由转动定律导出，力矩对转动刚体作的元功为 在外力矩作用下，角速度由变成时，外力矩对刚体做的功为 （3-16）此式称为刚体定轴转动的动能定理。表明，刚体绕定轴转动时，刚体所受合外力矩所做的功等于刚转动动能的增量。3-5 角动量 角动量守恒定律在前面，我们曾用动量来描述质点运动状态，引入了动量定理和动量守恒定律，它们为解决质点运动带来很多方便。在研究转动问题时，我们也可类似地引入角动量、角动量定理和角动