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圆柱与圆锥(二)一、新知学习1、圆锥的基本概念(1)以直角三角形边为轴,旋转一周所围成的立体图形,叫圆锥。生活中经常出现的圆锥有:沙堆、漏斗、帽子等。(2)认识圆锥各部分的名称:下面一个圆面叫做底面,它周围叫侧面,从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做高。(3)圆锥的特征圆锥的底面都是一个圆。圆锥的侧面是曲面。一个圆锥只有一条高。(4)圆锥的侧面沿着一条母线展开后是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长,半径等于圆锥的母线长。(如下图所示)2、计算公式圆锥的体积=底面积高V锥=Sh逆推公式有:圆锥的高=圆锥的体积3底面积h=V锥3S圆锥的底面积=圆锥的体积3高S= V锥3 h 3、圆柱与圆锥的关系圆 柱圆 锥底 面两个底面完全相同,都是圆形。一个底面,是圆形。侧 面曲面,沿高剪开,展开后是长方形。曲面,沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开,展开后是扇形。高两个底面之间的距离,有无数条。顶点到底面圆心的距离,只有一条。.等底等高情况下,圆柱体积是圆锥体积的3倍。等底等高的情况下,圆锥体积是圆柱体积的等底等高的情况下,圆锥体积比圆柱体积少。等底等高的情况下,圆柱体积比圆锥体积多2倍等体积等高的圆柱和圆锥,圆锥底面积是圆柱底面积的3倍;等体积等底面积的圆柱和圆锥,圆锥的高是圆柱高的3倍。4、拓展延伸(1)圆锥的纵切:切1次,增加2个三角形,三角形的底是圆锥的直径,三角形的高是圆锥的高。(2)把一个正方体削成一个最大的圆柱(或圆锥),正方体的棱长就是圆柱(或圆锥)的底面直径和高。(3)熔铸(或铸成),体积不变。注水问题:上升的(或下降)的水的体积等于放入的的物体的体积。(完全 浸没)二、例题精讲例1、根据条件求圆锥的体积。(单位:厘米)例2、 直角三角形的两条边分别是6cm和7cm,按照如图的方向旋转一周,求旋转体的体积。 拓展练习一个直角三角形的三边长度为3厘米,4厘米,5厘米,分别以这三条边为轴旋转一周形成的立体图形。它们的体积各是多少?例3、已知一个圆锥体的底面周长是18.84厘米,高是3厘米,这个圆锥体的体积是多少平方厘米?有一个圆柱形储粮桶,容量是3.14m,桶深2米,把这个桶装满稻谷后再在上面把稻谷堆成一个高0.3米的圆锥。这个储粮桶装的稻谷体积是多少立方米?(得数保留两位小数)拓展练习一个圆锥体底面周长是12.56厘米,体积是37.68立方厘米,高是多少厘米?一个装满小麦的粮囤,上面是一个圆锥形,下面是圆柱形。量得圆柱的底面周长是6.28米,高是2米,圆锥的高是0.6米。如果每立方米小麦重750千克,这囤小麦大约有多少千克?例4、一个底面直径是8分米,高为9分米的圆锥体,沿底面直径切成相等的两部分,表面积增加了多少平方分米?拓展练习一个底面半径为3米的圆锥体,沿底面直径切成相等的两部分,表面积增加45平方米,求圆锥的体积是多少?例5、有一段钢可做一个底面直径8厘米,高9厘米的圆锥形零件如果把它改制成高是12厘米的圆柱形零件,零件的底面积是多少平方厘米?拓展练习一个圆柱形橡皮泥,底面积是12平方厘米,高是5厘米如果把它捏成同样高的圆锥,这个圆锥的底面积是多少?管的体积计算一根圆柱形的零件管,长70厘米,外圆柱直径为20厘米,内圆柱直径为10厘米,这个零件的体积是多少?圆柱和圆锥的相互关系(1)一个圆柱高4分米,体积是40立方分米,比与它等底的圆锥的体积多10立方分米,这个圆锥的高是( )分米。(2)一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积分别相等,已知圆柱的高是6厘米,那么圆锥的高是( )厘米。(3)等底等高的圆柱和圆锥的体积和是96立方分米,圆柱的体积是( )立方分米,圆锥的体积是( )立方分米。(4)把一个体积是18立方厘米的圆柱削成一个最大的圆锥,削成的圆锥体积是( )立方厘米。(5)把一段圆柱形木料削成一个最大的圆锥,圆柱的体积是6立方分米,圆锥的体积是( )立方分米。(6)一个圆锥的体积是6.3立方厘米,与它等底等高的圆柱的底面积是7平方厘米,圆柱的高应该是( )。(7)一个圆锥的体积是n立方厘米,和它等底等高的圆柱体的体积是( )立方厘米。(8)把一个底面积是6.28平方分米、高9分米的圆柱体铁块熔铸成一个底面积是12.56平方分米的圆锥体,圆锥体的高是多少分米?正方体、长方体、圆柱和圆锥之间的关系(1)一个棱长是4分米的正方体容器装满水后,倒入一个底面积是12平方分米的圆锥形容器里正好装满,这个圆锥形容器的高是( )分米。(2)把一个棱长是4分米的立方体钢柸切成一个最大的圆柱,这个圆柱的体积是( )立方分米。(3)一个圆锥形沙堆,底面半径3米,高2.7米,用这个沙堆在15米宽的公路上铺4厘米厚的路面,能铺多少米?(4)工地上有一堆圆锥形三合土,底面周长37.68m,高5m,把这些三合土在宽15.7m的路面上铺4cm厚,可铺多少米?(5)、一个无盖的圆柱形水桶,底面直径是40厘米,高50厘米,做这样100个水桶至少需要铁皮多少平方米?(得数保留整数)(6)、一个圆锥形沙堆,底面周长是62.8米,高米,用这堆沙在10米宽的公路上堆10厘米厚的路面,能铺多少米长?(7)、一个装满玉米的圆柱形粮囤,底面周长6.28米,高2米。如果将这些玉米堆成一个高1米的圆锥形的玉米堆,圆锥底面积是多少平方米?三、巩固练习1、选择题。 (1)一个圆锥体的体积是a立方米,和它等底等高的圆柱体体积是( ) a立方米 3a立方米 9立方米 (2)把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体,圆柱体体积是6立方米,圆锥体体积是( )立方米 6立方米 3立方米 2立方米2、判断对错。 (1)圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍 ()(2)一个圆柱体木料,把它加工成最大的圆锥体,削去的部分的体积和圆锥的体积比是2:1 。 ()(3)一个圆柱和圆锥等底等高,体积相差21立方厘米,圆锥的体积是7立方厘米 。()3、填空(1)一个圆柱体积是18立方厘米,与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。(2)一个圆锥的体积是18立方厘米,与它等底等高的圆柱的体积是( )立方厘米。(3)一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。圆柱的体积是( )立方厘米,圆锥的体积是( )立方厘米。4、求下列圆锥体的体积。(1)底面半径4厘米,高6厘米 。 (2)底面周长31.4厘米,高12厘米。5、一个近似圆锥形的麦堆,底面周长12.56米,高1.2米,如果每立方米小麦重750千克,这堆小麦重多少千克?6、一个长方体容器,长5厘米,宽4厘米,高3厘米,装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米?7、张师傅要把一根圆柱形木料(如右图)削成一个圆锥,削成的圆锥的体积最大是多少立方分米?四、作业1、等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米,这个圆柱的体积是( )立方米,圆锥的体积是( )立方米2、小军做了一个圆柱体容器和几个圆锥体容器,尺寸如下图所示(单位:),将圆柱体内的水倒入( )圆锥体内,正好倒满。 3、在下图中,以直线为轴旋转,可以得出圆柱体的是( ),得出圆锥体的是( )。 A B C D4、一个圆柱体杯中盛满15升水,把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中,杯中还有( )水。 A5升 B7.5升 C10升 D9升5、求长方体,正方体,圆柱体的体积共同的公式是()A、V=abhB、V=a3C、V=Sh6、判断 圆柱体的体积与圆锥体的体积比是31。() 等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积比圆锥的体积大2倍.() 一个容器的体积就是它的容积。() 一段圆柱体的钢材,切削成一个最大的圆锥体,切去部分是圆锥体积的2倍。()7、下面两个图中,左边一个是梯形,绕它的6cm的边将这个梯形旋转一周得到如右边的立体图形,这个立体图形的体积是多少立方厘米?8、小明新买了一支净含量54cm3的牙膏,牙膏的圆形出口的直径为6mm,他早晚各刷一次牙,每次挤出的牙膏长约20mm,这支牙膏估计能用多少天? 9、甲、乙两个体积相等的圆柱,两个圆柱的底面半径比为3:2,乙比甲高25厘米,两个圆柱各高多少厘米?10、在一只底面半径为20cm,高为40cm的圆柱形玻璃瓶中,水深16厘米,要在瓶中放入长和宽都是16cm.,高30cm的一块长方体铁块。使其一面紧贴玻璃瓶底面。如果把铁块横着放入玻璃瓶完全浸没水中,瓶中的水会升高多少cm?如果把铁块竖着放入玻璃瓶,瓶中的水将会升高多少cm?11、在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆,测得底面直径4米,高1.5米。每立方米沙大约重1.7吨,这堆沙约重多少吨?(得数保留整吨数)12如下图所示,圆锥形容器中装有5升水,水面高度正好是圆锥高度的一半,这个容器还能装多少升水?
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