习 题 课 二 十 三二、选择题1 设C是圆周，则（ D ）。（A）0；（B）1；（C）；（D）。解：C的极坐标方程为，。另解：设C的线密度，则C的质量，且，故。2：，则有（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。解：，且在x，y，z具有轮换对称性，故应选（C）。3圆柱面被圆柱面所截部分的面积为（A）. （A） 8a2, （B） 4a2, （C）2a2, （D） a2.解：由图形的对称性可知，圆柱面被圆柱面所截部分的面积为它位于第一卦限内的部分S的面积S的8倍，S在xOy平面内的投影为， S的方程为， 。另解：在第一卦限内两圆柱面的交线为，S在xOz平面内的投影曲线为L： ， 则。故圆柱面被圆柱面所截部分的面积为。二、填空题1设，则在柱面坐标系下的三次积分为 ；在球面坐标系下的三次积分为。2质量均匀分布的球体：对z轴的转动惯量为。解：设密度为1，则。另解：。3为，则。解：对x，y，z具有轮换对称性，。4设L为圆锥螺线， 。解：。三、解答题1求曲面，所围成的立体的体积。解： 。2计算三重积分，其中是由曲线绕z轴旋转一周所生成的曲面所围成的区域。解：旋转曲面：， 。3计算, 其中W为由半椭球面与锥面所围成的区域。解：两曲面的交线在xoy面上的投影曲线为，故W在xoy面上的投影区域为。原式=，作广义极坐标变换：，则， ，原式=。4S是椭球面的上半部分，点， 为S在点M处的切平面，求。解：，则，点到平面，S的方程为， ，S在投影区域，。三、应用题1 计算球面上的三角形的边界曲线的形心坐标。解：边界曲线，：；：；：。边界曲线的长度，由对称性知：， 所求形心为。2球体内，各点处的密度等于该点到原点距离的平方，试求这球体的质心。解：密度函数，由对称性知：，。所求质心为。 6