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第 10 章 第 8 节一、选择题1(2010厦门质检)设随机变量 的分布列为 P(k )m k(k1,2,3) ,则 m 的值为()(23)A. 1738B. 2738C. 1719D.2719答案B解析m 1m 2m 31, m .故选 B.(23) (23) (23) 27382(2010辽宁理)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两23 34个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A. 12B.512C. 14D.16答案B解析恰有一个一等品即一个是一等品,另一个不是, 则情形为两种,即甲为一等品,乙不是或乙为一等品甲不是,P ,故 选 B.23 (1 34) (1 23) 34 5123从甲袋中摸出一个红球的概率为 ,从乙袋中摸出一个红球的概率是 ,从两袋中各13 12摸出一个球,则概率等于 的是( )23A2 个球不都是红球的概率B2 个球都是红球的概率C至少有 1 个红球的概率D2 个球中恰好有 1 个红球的概率答案C解析两袋中各摸出一个球:甲红 ,乙 红,P 1 ;13 12 16甲红 ,乙不是红,P 2 ;13 (1 12) 16甲不是 红,乙红,P 3 ;(1 13) 12 13甲、乙都非红,P 4 .(1 13)(1 12) 13因此 A的概率为 ,B的概率为 ,C的概率为 ,D的概率为 ,故选 C.56 16 23 124(2010山东省实验中学)种植两株不同的花卉,它们的存活率分别为 p 和 q,则恰有一株存活的概率为()Apq2pq BpqpqCpq Dpq答案A解析恰有一株存活的概率为 p(1q) q(1p)pq2pq.5设随机变量 的分布列为 P(k) ,k0,1,2,3,则 E()()ck 1A. 1225B.2325C. 1350D.4625答案B解析由条件知 c 1, c ,c2 c3 c4 1225故分布列为 0 1 2 3P 1225 625 425 325故 E()0 1 2 3 ,1225 625 425 325 2325选 B.6(2010江西文,9)有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率是p(00) ,则710该小组有_人答案5解析设该小组共有 x人,其中既通过长跑测试又通过跳远测试的有 y人, 则Error!解得 x5 或 x (舍去)11237所以该小组一共有 5 人13在一次考试的 5 道题中,有 3 道理科题和 2 道文科题,如果不放回的依次抽取 2道题,则在第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题的概率为_答案12解析设第一次抽到理科题为事件 A,第二次抽到理科 题为 事件 B,则两次都抽到理科题为事件 AB,P(A) ,P(AB) ,35 310P(B|A) .PA BPA 12点评由于是不放回抽样,故在第一次抽到理科 题条件下,相当于有 2 道理科题和 2道文科题,从中抽一道,抽到理科题的概率为多少,故为 P .1214(2010上海大同中学模考) 一个箱子中装有大小相同的 1 个红球,2 个白球,3 个黑球,现从箱子中一次性摸出 3 个球,每个球是否被摸出是等可能的,用 表示摸出的黑球数,则 的数学期望 E()_.答案32解析P( 0) ,C33C30C63 120P(1) ,P(2) ,C32C31C63 920 C31C32C63 920P(3) ,C30C33C63 120E()0 1 2 3 .120 920 920 120 32三、解答题15(2010温州十校)一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,从袋子里随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分(1)若从袋子里一次取出 3 个球,求得 4 分的概率;(2)若从袋子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续摸 2 次,求所得分数 的分布列及数学期望解析(1)从袋子里一次取出 3 个球,得 4 分的概率为 P .C32C21C53 35(2)依题意, 的可能取 值为 2,3,4.P(2) 2 ,P(3)C 21 ,P(4)(35) 925 35 25 1225 2 ,(25) 425故 的分布列 为 2 3 4P 925 1225 425故 的数学期望 E()2 3 4 .925 1225 425 145点评取球问题是随机变量的常见题型,要注意球有无 颜 色限制,摸球的方法, 终止摸球的条件,记分方法等等附加了哪些限制条件, 请再练习 下列两题:1口袋里装有大小相同的 4 个红球和 8 个白球,甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球,每次摸出一个,规则如下:若一方摸出一个红球, 则此人 继续进行下一次摸球;若一方摸出一个白球,则换成对方进行下一次摸球; 每一次摸球彼此相互独立,并约定由甲开始进行第一次摸球求在前三次的摸球中:(1)乙恰好摸到一次红球的概率;(2)甲至少摸到一次红球的概率;(3)甲摸到红球的次数 的分布列及数学期望解析记“甲摸球一次摸出红球”为事件 A,“乙摸球一次摸出 红球”为事件 B,则P(A)P(B ) ,P( )P( ) ,且事件 A,B相互独立44 8 13 A B 23(1)在前三次摸球中,乙恰好摸到一次红球的概率为PP(A B)P( B )A A B .13 23 13 23 13 23 29(2)因为甲在前三次摸球中,没有摸到红球的概率为P1P( B)P( )A A B A 3 ,23 13 (23) 1427所以甲至少摸到一次红球的概率为P21P 11 .1427 1327(3)根据题意, 的可能取值为 0,1,2,3,则P(0)P( B)P( )A A B A 3 ,23 13 (23) 1427P(1)P( A )P( A)A A B 2 ,13 23 (23) 13 1027P(2)P( AA ) 2 ,A (13) 23 227P(3)P( AAA) 3 .(13) 127故 的分布列 为 0 1 2 3P 1427 1027 227 127数学期望 E()0 1 2 3 .1427 1027 227 127 17272袋中共有 10 个大小相同的编号为 1、2、3 的球,其中 1 号球有 1 个,2 号球有 m个,3号球有 n个从袋中依次摸出 2 个球,已知在第一次摸出 3 号球的前提下,再摸出一个 2 号球的概率是 .13(1)求 m,n的值 ;(2)从袋中任意摸出 2 个球, 设得到小球的编号数之和为 ,求随机变量 的分布列和数学期望 E()解析(1)记“第一次摸出 3 号球”为事件 A,“第二次摸出 2 号球”为事件 B,则P(B|A) ,m9 13m 3,n10316.(2)的可能的取值为 3,4,5,6.P(3) ,P(4) ,1C31C102 115 1C61 C32C102 15P(5) ,P(6) .C31C61C102 25 C62C102 13的分布列为 3 4 5 6P 115 15 25 13E()3 4 5 6 5.115 15 25 1316(2010广东理,17)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克 ),重量的分组区间为(490,495,(495,500, (510,515,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示(1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列(3)从该流水线上任取 5 件产品、求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率解析(1)重量超过 505 克的产品数量是40(0.0550.015)400.312 件(2)Y的分布列为Y 0 1 2P C282C402 C281C121C402 C122C402(3)从流水线上取 5 件产品,恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率是 .C283C122C405282726321 121121403938373654321 21113719 23170317一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有 5 个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的,且首末两个岗遇到红灯的概率为 p,其余 3 个交通岗遇到红灯的概率均为 .12(1)若 p ,求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率;23(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过 ,求 p 的取值范围518解析(1)记“该学生在第 i个交通岗遇到红灯”为事件 Ai(i1,2,5),则 P( 1 2A3) .A A (1 23) (1 12) 12 112即该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为 .112(2)“该学生至多遇到一次红灯”指“没有遇到红灯( 记为 A)或恰好遇到一次红灯(记为B)”,P(A)(1p) 2 3 (1p) 2,(1 12) 18P(B)(1p) 2C31 2 C 21p(1p) 3 (1p) 2 p(1p)(1 12) 12 (1 12) 38 14由 (1p) 2 (1p) 2 p(1p) 得,18 38 14 518 p ,又 0 p1,且 p1 时,首末两个交通岗都必遇到红灯,不合题意,所以13 83p 的取值范围是 .13, 1)
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