- 17 - / 25第五节古典概型最新考纲展示 1理解古典概型及其概率计算公式2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率考点一 基本事件的特点1任何两个基本事件是 的2任何事件都可以表示成 (除不可能事件)考点二 古典概型的两个特点1试验中所有可能出现的基本事件只有 个，即 2每个基本事件发生的可能性 ，即 提示：确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性考点三 古典概型的概率公式P(A) 古典概型中基本事件的探求方法 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1) 不同有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件概率问题去求1从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( )A. B. C. D1 12 13 232(2013 年高考江西卷)集合 A2,3，B 1,2,3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是()A. B. C. D .23 12 13 163一袋中装有大小相同，编号为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2次，则取得两个球的编号之和不小于 15 的概率为()A. B. C. D.132 164 332 3644在 20 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期从中任取 1 瓶，取到已过保质期的饮料的概率是_5 (2014 年南京模拟)某单位从 4 名应聘者 A，B ，C ，D 中招聘 2 人，如果这 4 名应聘者被录用的机会均等，则 A，B 2 人中至少有 1 人被录用的概率是_类型一 基本事件及事件的构成【例 1】有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y)表示结果，其中 x 表示第 1 个正四面体玩具出现的点数，y 表示第 2 个正四面体玩具出现的点数试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于 3”；(3)事件“出现点数相等 ” - 18 - / 25变式训练 1用红、黄、蓝三种不同颜色给图中 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“3 个矩形颜色都相同” ；(3)事件“3 个矩形颜色都不同” 类型二 古典概型【例 2】(2013 年高考辽宁卷)现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2道题解答试求：(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率；(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率类型三 古典概型的综合应用【例 3】(2014 年烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出 50 名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为 100 分) ，数学成绩分组及各组频数如下：40,50)，2；50,60)，3；60,70)，14；70,80)，15；80,90)，12；90,100)，4.(1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上；(2)估计成绩在 85 分以上学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩90,100) 中选两位同学，共同帮助成绩在40,50)中的某一位同学已知甲同学的成绩为 42 分，乙同学的成绩为 95 分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率样本频率分布表变式训练 2某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系统 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： - 19 - / 25(1)若所抽取的 20 件日用品中，等级系统为 4 的恰有 3 件，等级系统为 5 的恰有 2 件，求a，b，c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1， x2，x 3，等级系统为 5 的 2 件日用品记为 y1，y 2，现从 x1，x 2，x 3，y 1，y 2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率高考热点 古典概型的答题模板 从近两年的高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计等知识渗透综合考查，但题目一般不超过中等难度，以考查基本概念和基本运算为主，求解的关键在于正确计算随机试验不同的结果及事件 A 包含的基本事件数【典例】(2013 年高考山东卷 )(本题满分 12 分)某小组共有 A，B，C，D，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标( 单位：千克/米 2)如下表所示：(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率；(2)从该小组同学中任选 2 个，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率课后作业A 组1甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()A. B. C. D.12 13 14 152(2013 年高考全国新课标卷 ) 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是()A. B. C. D.12 13 14 163先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6) ，骰子朝上的面的点数分别为 x，y ，则满足 log2xy1 的概率为( )A. B. C. D.16 536 112 124(2014 年合肥模拟)将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为 a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为 b，则使不等式 a2b44)p，则 P(2c)，则 c()A0 B1 C2 D33已知随机变量 的分布列为 P(k) ，k1,2,3，则 D(35)()13A6 B9 C3 D44(2013 年高考安徽卷)某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A这种抽样方法是一种分层抽样B这种抽样方法是一种系统抽样 - 39 - / 25C这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数5设随机变量 服从正态分布 N(3,4)，若 P(a2)，则 a( )A3 B. 53C5 D.736设 X 为随机变量，且 XB ，若随机变量 X 的数学期望 E(X)2，则 P(X2)( )(n，13)A. B. 1316 16C. D.13243 80243二、填空题7(2014 年贵阳一中模拟)已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)，P( 4)0.84，则 P(0)_.8袋中有 3 个黑球，1 个红球从中不放回的任取 2 个，取到一个黑球得 0 分，取到一个红球得 2 分，则所得分数 的数学期望 E()_.9某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公司是否让其面试是相互23独立的设 X 为该毕业生得到面试的公司个数若 P(X0) ，则 D(X)_.112三、解答题10袋中有相同的 5 个球，其中 3 个红球，2 个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸 1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量 为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量 的概率分布列；(2)随机变量 的数学期望与方差11某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线教师参加，使用不同版本教 - 40 - / 25材的教师人数如下表所示：版本 人教 A 版 人教 B 版 苏教版 北师大版人数 20 15 5 10(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名，求 2 人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言，设使用人教 A 版的教师人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望12(能力提升)(2013 年高考全国新课标卷 )一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为12优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为 100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元 )，求 X 的分布列及数学期望B 组 - 41 - / 251某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得 A 等级的概率分别为 、，且三453525门课程的成绩是否取得 A 等级相互独立记 为该生取得 A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望 E()的值为_. 0 1 2 3P 6125 a b 241252一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记 10 分没有击中记 0 分，某人每次击中目标的概率为 .此人得分的数学期望与方差分别为_23