第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s 域分析,本章介绍连续时间系统的复频域分析方法。, 4.1 引 言,频域分析法与复频域分析法的比较。,频域分析法优点与不足,以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点 分析结果有着清楚的物理意义。 但傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号不满足绝对可积的条件，因而无法应用频域分析法。 频域分析法只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍须按时域方法求解。,复频域分析法优点与不足,为了突破频域分析方法的局限性，研究了复频域分析方法，以拉普拉斯变换为数学工具，将时域映射到复频域。 优点： 扩大了可以变换的信号的范围； 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 缺点： 物理概念不如傅里叶变换清楚。,主要学习内容,首先由傅里叶变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。 介绍系统函数H(s)及其零极点的概念，并根据零极点的分布分析系统特性，分析频率响应，并简略介绍系统的稳定性问题。 注意与傅里叶变换进行对比，便于理解与记忆。,本章要求,基本要求：常用函数的拉氏变换及其收敛域 拉氏变换的性质 拉氏反变换（部分分式法） 用拉氏变换法求解微分方程 系统函数 频响特性 稳定性的判别 双边拉氏变换及其收敛域 提高要求：用拉氏变换法分析电路 全通系统和最小相移系统 拉氏变换与傅里叶变换的关系, 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域,从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一些常用函数的拉氏变换 拉氏变换的收敛域,一从傅里叶变换到拉普拉斯变换,则,1拉普拉斯正变换,信号 f(t) 乘以衰减因子e t( 为一实数)后，容易满足绝对可积的条件。其傅里叶变换为,令 s = + j ，是一个复数，具有频率的量纲，称为复频率。,2拉普拉斯反变换,f(t)e t是F( + j) 的傅里叶反变换：,s = + j, 为常数, ds = jd, 积分限,3拉氏变换对,正变换 反变换,简记为 f(t) F(s)，f(t)：原函数， F(s)：象函数,正变换：从时域函数变换到复频域函数； 反变换：从复频域函数变换到时域函数。,由于 可正、可负、也可为零，复指数函数e st 可能是增幅、减幅或等幅的振荡信号，比傅里叶反变换中作为基本信号的等幅振荡信号ej t更具普遍性。,4单边拉氏变换,正变换 反变换,考虑实际系统中的信号都是有起始时刻的，定义信号的起始时刻为零的左极限：,采用 0 系统：可以直接利用 0 起始状态，也便于考虑 f(t) 中有冲激函数 (t)的情况。,二一些常用函数的拉氏变换及其收敛域,（ ）,1.单位冲激信号、冲激偶信号,= 1,(t0 0),= s,（ ）,（ ）,二一些常用函数的拉氏变换及其收敛域,2.阶跃函数,( 0),使F(s)存在的 s 的区域称为F(s)的收敛域。 单边拉氏变换的收敛域一般为 0，或Res 0 的形式。,二一些常用函数的拉氏变换及其收敛域,3.指数函数,( 为实数),二一些常用函数的拉氏变换及其收敛域,（ 0）,（ 0）,4t n u(t),( 0),小结,傅里叶变换把时域函数 f(t) 变换为频域函数F()，时域中的变量 t 和频域中的变量 都是实数。 拉氏变换把时域函数 f(t) 变换为复变函数 F(s)，时域变量 t 为实数， F(s)变量 s 为复数。 s 域也称为复频域，拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。 从物理意义上看， 只能描述振荡的重复频率， s = + j 则不仅描述振荡的频率，还同时描述振荡幅度增长或衰减的速率。,三拉氏变换的收敛域,拉氏变换存在的条件： f(t)e t 傅里叶变换存在的条件,f(t)e t 应绝对可积：,对于单边信号 f(t)，绝对可积条件可等效为,使F(s)存在的s 的区域称为F(s)的收敛域。,s 平面,收敛域,收敛坐标,收敛轴,ROC: Region of convergence,常用信号的收敛域,(1) u(t),= 0 ( 0),收敛域为 s 平面的右半平面。,(2) sin(0t ) u(t),= 0 ( 0),收敛域为 s 平面的右半平面。,等幅信号或等幅振荡信号的收敛域为 s 平面的右半平面（ 0）,常用信号的收敛域,(3) et u(t)， 为实数,= 0 ( ),收敛域为 = 的右侧 s 平面。,指数信号的收敛域为指数实部右侧的 s 平面（ 0）,常用信号的收敛域,(4) t n u(t), n = 1, 2, 3 ,= 0 ( 0),收敛域为 s 平面的右半平面。,n = 1,同理可分析 n = 2, 3 ,随时间增长的 t 的正幂次方信号的收敛域为 s 平面的右半平面（ 0）,常用信号的收敛域,(5) u(t) u(t ) , 0,= 0 ( ),收敛域为全部 s 平面。,有界的非周期信号的拉氏变换一定存在，其收敛域是整个 s 平面。,常用信号的收敛域,(6),不存在收敛域，不存在拉氏变换。,拉氏变换收敛域的一些基本规律,等幅信号或等幅振荡信号的收敛域为s 平面的右半平面（ 0） 指数信号 的收敛域为 的右半平面; ； 随时间增长的 t 的正幂次方信号的收敛域为s 平面的右半平面（ 0）； 有界的非周期信号的拉氏变换一定存在，其收敛域是整个 s 平面； 满足 的信号称为指数阶信号； 对于一些比指数函数增长得快的函数，无法利用指数函数形式的收敛因子使其收敛，不存在拉氏变换； 在单边拉氏变换问题中可以不加注其收敛范围。, 4.3 拉普拉斯变换的基本性质,线性 尺度变换 时域平移 s 域平移（指数加权） 时域微分,时域积分 象函数微分（线性加权） 卷积 初值 终值,意义,傅里叶变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系; 拉氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和复频域特性之间的确定的内在联系。 利用性质求信号的拉氏变换 F(s)。,一线性,e.g.,若,则,K1 , K2 为常数,（ 0）,二尺度变换,三时域平移,收敛域不变。,注意：对于单边拉氏变换，f(t)u(t)延时 t0 获得f(tt0)u(tt0)，即信号的起始时刻也延时到 t0 。,例 1 求各波形的拉氏变换。,O,t,1,(t1)u(t),O,t,1,t u(t1),1,(t1)u(t1),例 2 求信号 f1(t) = sin0(t t0)u(t t0) 和 f2(t) = sin0(t t0)u(t)的拉氏变换。,用时移性质求单边周期信号的拉氏变换,例3 求周期方波的拉氏变换。,f1(t) = u(t) u(t 1) , T =2,（ 0）,用时移性质求单边周期信号的拉氏变换,一般周期信号的拉氏变换,四s 域平移（指数加权）,根据,同理,五时域微分,推广：,证明：,例 4 已知 ，利用微分性质重新求解 (t) 和 (t)的拉氏变换。,六时域积分,证明：,( t 0),六时域积分,证明：,( t 0),( t 0),六时域积分,( t 0),( t 0),例 5 求图示三角脉冲信号的拉氏变换。,方法一,例 5 求图示三角脉冲信号的拉氏变换。,方法二,七s 域微分（线性加权）,推广：,e.g. t e t u(t)的拉氏变换。,收敛域不变。,八卷积,f1(t)与f2(t)为,因果信号，则,收敛域为 F1(s) 与 F2(s) 的收敛域的交集。,九初值定理,若f(t)及其导数,存在拉氏变换，且,则,（s 为实数）,初值定理证明,若f(t)和f(t)的拉氏变换存在，根据原函数微分定理：,验证：,分析：,提示：要去掉冲激函数及其各阶导数的拉氏变换分量,做法：若F(s)不是真分式，应求出其中的真分式后对真分式应用初值定理。,分子多项式的次数要低于分母多项式的次数,?,十终值定理,若f(t)及其导数,存在拉氏变换，且,则,证明：根据原函数微分定理,终值定理分析,分析,的原函数的终值,验证：,?,十终值定理,若f(t)及其导数,存在拉氏变换，且,则,F(s)分母多项式的根不能位于 s 平面的右半平面，也不能是位于j 轴上的共轭虚根或原点上的重根。,注意：终值定理只适用于F(s)分母多项式的根位于 s 平面的左半平面以及原点上的单实根。,能够应用终值定理的前提：,存在。, 4.4 拉普拉斯逆变换,由象函数求原函数的三种方法： (1)部分分式法 (2)利用留数定理围线积分法 (3)数值计算方法利用计算机 两种特殊情况,一F(s)的一般形式,ai, bi为实数，m, n为正整数。,分解为,零点：,极点：,二部分分式展开法 (m n，真分式),基本思路：,求F(s)的极点； 根据极点将F(s)展成部分分式,(3),关键：求出K1, K2 Kn,单实根 共轭复根 重根,第一种情况：极点均为单阶实数,p1, p2 pn 为不等实根,= K1,例 1 求 的原函数。,(1)分解因式，求极点,(2)展成部分分式,(3)逆变换,求系数,= 1,第二种情况：极点包含共轭复根,共轭极点出现在 。,第二种情况：极点包含共轭复根,的原函数,例 2 求 的原函数。,(1)求极点,(2)展成部分分式,(3)逆变换,= 0.5,p1 = 1, p2 = 1 j2,例 2 求 的原函数。,方法二：利用,展成部分分式:,= 0.5,第三种情况：有重根存在,e.g.,第三种情况：有重根存在,e.g.,重根最高次系数(K2)和单根系数(K1)的求法相同：,求K3 ：,第三种情况：有重根存在,e.g.,一般情况,求k11的方法与求单根的方法相同：,求其他系数：,三F(s) 的两种特殊情况,1. F(s) 非真分式 化为真分式多项式,e.g.,作长除法:,2.含有 的非有理式,分析方法：利用时移性质，先不考虑 项，求其余有理分式的原函数，再进行延时。,e.g. 求 的原函数。,令, 4.5 拉普拉斯变换的应用,用拉氏变换法求解微分方程 用拉氏变换分析电路,一. 用拉氏变换求解微分方程,零输入响应,零状态响应,一. 用拉氏变换求解微分方程,零输入响应,零状态响应,用拉氏变换求解微分方程的基本步骤,方程两边求拉氏变换，注意代入 r(k)(0) 和 e(k)(0) ； 求解 s 域代数方程得到输出r(t)的象函数 R(s); 求 R(s) 反变换得到原函数 r(t)； 可以从 R(s) 中直接分解出零输入响应（只与起始状态有关的项）和零状态响应（只与激励有关的项）； 还可以从全响应 r(t) 中分解出自由响应和强迫响应、稳态响应和暂态响应。,二. 用拉氏变换法分析电路,例2 RLC串联电路中，已知 i(0) = 0.5A，vC(0) = 0,求 i(t) , t 0。,方法一 列微（积）分方程并求解,二. 用拉氏变换法分析电路,例2 RLC串联电路中，已知 i(0) = 0.5A，vC(0) = 0,求 i(t) , t 0。,方法二 利用电路的 s 域模型 建立电路的 s 域模型 根据 s 域模型和电路理论列方程 求解 s 域代数方程，得到变量的象函数 求反变换，得到变量的时域解（原函数）,1. 基本元件的 s 域模型,(1) 电阻元件的 s