第三章第三章 一元函数微分学一元函数微分学 本章主要内容有：一元（隐）函数求导方法、微分中值定理、Taylor 公式、不等式的证 明、凸函数、导数的应用（极值、函数作图等）等. I 基本概念与主要结果基本概念与主要结果 一一 导数与微分导数与微分 1 导数导数 定义定义 1 设函数在点某领域内有定义，若极限 )(xfy = 0 x 0 0) ()( lim 0xx xfxf xx 存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作. f 0 xf 0 x)( 0 x f 等价形式： .lim )()( lim )()( lim)( 0 00 0 00 0 0 x y h xfhxf x xfxxf xf xhx = + = + = 当上述极限不存在时，可研究其单侧极限，即左右导数. 左导数：设函数在点的左领域)(xfy = 0 x),( 00 xx上有定义，若左极限 )0( )()( lim 00 0 xf0)( f. 于是，若0)(cf，令+x得 ， 若+)(xf0)(cf cx 时，由拉格朗日中值定理得 )()()()(+=xcxfcfxf. 若，则当0)(x， 使得， 在矩形区域上，) 1,(, 22 +xx 1, 1, 22 + ) sin (, sin u ux x u ux 均连续，所以 x x x x x du u ux xf x x x 23 sin 2 sin ) sin ()( 2 += x xx uxdu x x 23 sinsin2 cos 2 += x xx x x x x 2323 sinsin2sinsin += . sin2sin3 23 x xx = 例例 8 （西北工业大学） 设)()(, 1 )( 2 xfffxf x x xf n ?= + =（个） ， 求 nf).(xfn 解解 由数学归纳法易证： ., 1 )( 2 + + =Zn nx x xfn 于是 . )1 ( 1 1 1 ) 1 ()( 32 2 2 2 2 2 nx x nx nx nx nx nx x xfn + = + + + = + = 思考题思考题 5 求下列函数的导数： （1）（复旦大学 1999）； )sin(sin x x xy = （2）（复旦大学 1998）； x xycostan= （3） （华东师大 1998） + m，即 . 3m 思考题思考题 6（山东大学）试作一函数在),(+内二阶可微，使得)(xf 在处不连 续，其余处处连续. 0=x 思考题思考题 7（华东化工学院） 确定常数，使函数 ba, + = , 1, , 1, )( 2 xx xbax xf 处处连续，且可微. 例例 11（内蒙古大学）讨论函数 + = ,),1 ( ,),1 ( )( QRxxx Qxxx xf 的连续性和可微性. 解解 首先证明：在处连续. 事实上)(xf0=x0)0(=f，且) 1 , 0(Ux时，有 xfxf2)0()(， 因此，) 1( 2 , 0 ，当), 0(Ux时，有 ，当时，有 ), 0( 0 Uz xf ax axax xf ax afxf ax afxf = = = )( )()( lim )()( lim， 即在点可导. )(xfa 同理可证：当时，在点a也可导. 0)(x 1)2(, 1 2 2)( 2 2)( 1 1 1 1 1 = + f x xp x xf ； 同理，当时，有 1 2 + xf. 由于 0 )()( lim)( 0 + = + + h xfhxf xf h ， 所以，. 由和)()(xfhxf+0hx的任意性知在严增， 再由在闭区间 上连续知，这与已知条件矛盾. )(xf),(ba)(xf ,ba)()(bfaf当当当 h0时，,bax，有 + )( )()( xf h xfhxf . 因此，当, 0 bax h0，, 0 bahx+时，有 )( )()()()( )( )()( 0 0000 0 00 xf h hxfhhxf h hxfhhxf hxf xfhxf + + + += + )( )()( )( )()( 0 00 0 00 xf h xfhxf hxf h hxfhhxf + + + 2. 即在连续，由的任意性知命题成立. )(xf 0 x 0 x