三、收敛数列的性质,1.2 数列的极限,二、数列极限的定义,一、概念的引入,四、数列的运算法则,割圆术：刘徽,一、概念的引入,设有一圆，首先作内接正六边形，将其面积记为A1；再作内接正十二边形，将其面积记为A2；作内接二十四边形，将其记为A3；依此类推，内接正6 2n-1边形的面积记为An,正十二边形的面积,正 形的面积,当n越大时，An的面积与圆的面积的差别也就越小；当n时，内接正多边形的面积就无线接近于圆，这就是极限的概念.,正六边形的面积,二、数列极限的定义,数列是整标函数:,在几何上：,例如：,1、数列的定义,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1，x2，x3， xn，,两个数的接近程度可用这两个数之差的绝对值来度量！,问题：当n无限增大时，对应的f(n)能否无限接近于某个确定的数值？,“无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划它？,2、数列极限的定义,推论,收敛数列的几何意义：,具体方法：,思考：如何根据极限定义验证数列极限？,用定义验证数列极限,关键是如何由任意给定的0 ，寻找N！,注：该定义并未提供如何求数列极限，但可以去验证数列的极限！,例1,证,例2,证,注:,放大的原则：,例3,证,例4,证,三、 收敛数列的性质,定理1（唯一性）,证,定理2（有界性）,证,推论2,推论1,证明之前函数有界性的概念,证,推论3,定理3 （保号性）,证,推论,子数列的概念,定义,定理4,证,推论,此推论常用于证明某个数列是发散的！例如数列,四、数列极限的运算法则,注：前两项可推广到有限个收敛数列的情形！,无穷多个收敛数列,这是错误的.,例5,练习,P26第1题（5） （6） （8） 第3题 第5题（3） （4） P27第6题 P45第1题（11）（13） 第4题,作业,