离散型随机变量的数学期望和方差,一、复习回顾,1、离散型随机变量的分布列,2、离散型随机变量分布列的性质：,(1)pi0，i1，2，； (2)p1p2pi1,1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？,把环数看成随机变量的概率分布列：,权数,加权平均,二、互动探索,2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？,把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：,一、离散型随机变量的均值,数学期望,一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：,则称,为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,为随机变量X的方差。,称,为随机变量X的标准差。,它们都是反映离散与集中，稳定与波动的水平。,数学期望与方差的性质,基础训练,1、随机变量的分布列是,(1)则E= . D =,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若=2+1，则E= . D =,5.8,E=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,2.44,9.76,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值和方差是多少？,一般地，如果随机变量X服从两点分布，,则,例题讲解,小结：,例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望和方差。,解：,(1) XB（3，0.7）,(2),一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则,例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中摸出3个球. （1）求得到黄球个数的分布列； （2）求的期望和方差。,解：,(1) 服从超几何分布,小结：,一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则,四、应用,例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：,用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。,解：,表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在810环。,问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？,问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,解：,在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。,相关练习：,3、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求EX和DX。,117,10,0.8,2，1.98,4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .,3,课堂小结,一、离散型随机变量的期望和方差,二、性质,三、如果随机变量X服从两点分布，,四、如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p）,1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望和方差。,作业,2.某商场的促销决策：统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？,E = 10000.03a0.07a,得a10000,故最大定为10000元。,3.若保险公司的赔偿金为a（a1000）元，为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？,设在商场外开展促销活动获得的积极效益为x万元，则有x的分布列 x -4 10 p 0.4 0.6 E（x）=-4*0.4+10*0.6=4.4万元 所以,这说明在国庆节当地有雨的概率为0.4的情况下，在商场外开展促销活动获得的积极效益的期望是4.4万元，超过在商场内促销活动可获得的经济效益2万元，所以，商场应选择外促销活动,4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：,商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的利润。 （1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款” 的概率P(A)； （2）求 的分布列及期望E 。,解：（）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”， 知 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， （1-0.4）3=0.216， ； （）的可能取值为200元，250元，300元， ， ， ， 的分布列为 （元）。,