1,误差定义、来源、分类、测量精度,误差理论与数据处理,数据处理的一般方法,算术平均法、最小二乘法、一元线性回归.,测量误差的基本理论,2,基本理论,测量误差的定义,定义：,x 测量误差 x 测量结果 x0 真值,测量结果与其真值的差异,真值：,被测量的客观真实值,理论真值：,理论上存在、计算推导出来,如：三角形内角和180,约定真值：,国际上公认的最高基准值,如：基准米,(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长),相对真值：,利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值,1m=1 650 763.73 ,标准仪器的测量标准差 1/3 测量系统标准差, 检定,定性概念，定量表示,3,基本理论,测量误差的来源,(1) 装置误差：,测量仪器、设备、装置导致的测量误差,机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程,电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声,(2) 环境误差：,测量环境、条件引起的测量误差,空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动，,(3) 使用误差：,读数误差、违规操作、,原理误差：,测量原理和方法本身存在缺陷和偏差,近似：,如：非线性 比较小时 可以近似为线性,假设：,理论上成立、实际中不成立,如：误差因素互不相关,理论分析与实际情况差异,方法：,测量方法存在错误或不足,如：采样频率低、测量基准错误,4,基本理论,测量误差的性质与分类,(1) 随机误差( random error ),正态分布,性质：,原因：装置误差、环境误差、使用误差 处理：统计分析、计算处理 减小,对称性,有界性,抵偿性,单峰性,5,基本理论,测量误差的性质与分类,(2) 系统误差( system error ) ：,性质：有规律，可再现，可以预测 原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差 处理：理论分析、实验验证 修正,(3) 粗大误差( abnormal error ) ：,性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起 原因：装置误差、使用误差 处理：判断、剔除,6,基本理论,测量精度,精度：,测量结果与真值吻合程度,定性概念,测 量 精 度 举 例,不精密（随机误差大） 准确（系统误差小）,精密（随机误差小） 不准确（系统误差大）,不精密（随机误差大） 不准确（系统误差大）,精密（随机误差小） 准确（系统误差小）,误差的分类不是绝对的。未掌握变化规律或过于复杂的系统误差按随机误差处理。已弄清规律的随机误差按系统误差处理。 例：电磁场对测量结果的影响，如果较小，规律不明显，与其他因素难以区分时当作随机误差；当影响较大、规律可掌握就当作系统误差；影响严重到完全偏离真值，不能允许的程度时当作粗大误差。,研究误差的目的,世界是未知的。 根据掌握的有限次测量的结果，对真值进行估计，或者判断测量结果的合理性。,1.观测值为 l1,l2,l3,.ln 如何取值？如何评价数据的精度？,2.观测值为 X1,X2， 如何评价数据的合理性？测量有无粗差？,但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即： =？ m=？ 寻找最接近真值的值x,真值如何找到？精度如何描述,集中趋势的测度（最优值）,中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。 众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。 切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。,算术平均数：,满足最小二乘原则的最优解,精度（中误差）计算方法,一、已知真值X，则真误差,一、真值不知，则,二、中误差,二、中误差,12,相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。,用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 重视程度 准确度精密度相对精密度,绝对误差与相对误差*,因为只对u偏离A多少感兴趣，因此定义 |x| 为绝对误差，那么A= u|x|, 相对误差（ ）表明测量值偏离真值的相对程度。用表示。显然相对误差比绝对误差更直接地表明了测量的精确程度。,例1，一次测量值10cm，绝对误差1mm； 另一次测量值1 m ，绝对误差5mm，哪一次测量误差小？ 第一次的相对误差1，第二次的相对误差0.5,引用相对误差（满度相对误差）,用来表示仪器的准确程度。例如电工仪表准确度等级0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0就是引用相对误差的百分比。 例2，1.5级的100mA的电流表在50mA处误差1.4mA,是否合格？,例3， 要测量10V左右的电压，有两块电表。一只1.5级，量程150V； 另一只2.5级，量程15V,应选用哪一只测量？ 第一只的绝对误差为1501.5% = 2.25V 第二只的绝对误差为152.5% = 0.375V 结论：不能片面追求仪表的高级别，应根据被测量大小和仪器级别合理选择。一般应使被测量在仪表满度的2/3以上。,设仪表等级为s ，满度值x m 被测真值 A，则测量的绝对误差 相对误差,18,误差结果描述,准确度(测量成果与真值的差异，反映系统误差） 精（密）度（观测值之间的离散程度，反映随机误差） 精准度（同时考虑测量结果的准确度和精密度） 测量平差（求解最或是值并评定精度）,19,测量数据结果表示,这样表示的含义是： 是最佳值；误差超过 的概率是很小的。,目前国内外尚无统一规定，原则上测量结果应在正确反映被测量的真实大小和它可信度的同时又不过于庸长和累赘。通常用算术平均值作为最佳值和算术平均值的极限误差表示：,关于置信度与不确定度,测量值在某区间内的概率称为测量结果的置信概率或置信度。 极限误差常称为测量结果的不确定度，通常取 ，2，3 置信系数 置信限 置信概率 1.0 1.0 0.6827 2.0 2.0 0.9544 3.0 3.0 0.9973,，在等精度条件下，对某距离用钢尺丈量了四次，观测值分别为120.031,120.025,119.983,120.041，计算其算术平均值、单次测量值的中误差、算术平均值的中误差。(单位米),21,误差传播定律,已知：mx1,mx2,mxn 求：my=?,y=?,二.误差传播定律,一般函数的中误差公式误差传播定律,设有函数,xi为独立观测值,观测值函数中误差公式汇总,算术平均值 已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mx,误差传播定律的应用,解：,列函数式,中误差式,误差传播定律的应用,例已知某矩形长a=500米，宽b=400米, ma=mb=0.02m， 求矩形的面积中误差mp。,误差传播定律的应用,三 间接测量的数据处理,例 取圆弧的圆心为坐标原点，已知 圆弧上一点的坐标值（x,y）,求圆弧 的半径R。 数据处理步骤： 1,列出间接测量与直接测量值 的函数关系，由几何关系得： 2, 列出直接测量的结果： x = 5.020.005mm, y = 8.980.007mm,3, 计算间接测量值（由平均值求平均值） 4，计算误差传递函数（由平均值计算）,5, 计算间接测量值的极限测量误差 6,写出间接测量结果,10.30.007mm,Re数判断,设管径 d=201mm ，水温t=210.5 ，量筒中的水增加100.2cm ，量筒底边为正方形边长200.5cm，计时为300.5S。试根据误差原理计算此状态的雷诺数以及各种误差源分别引起多大的误差限，根据计算各个误差限的大小，做出判断哪些物理量测量时应该特别注意。,31,习题 如图所示的弧形半径需要精确测量，已知： 设已测得b=15mm b=0.7m; h=1.46mm h=0.5m 求R,不等精密度测量的数据处理,一般测量实践基本上属于等精密度测量的问题，有时为了得到更精确的结果，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器，不同的测量方法,不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这就是不等精密度测量。,一 “权”的概念,等精密度测量中各个测量值可靠程度相同，因此取算术平均值为最佳值，而不等精密度测量中各个测量值可靠程度不相同，因而不能简单地取算术平均值为最佳值。应使可靠程度大的数据在最后结果中占的比例大一些，可靠程度小的数据在最后结果中占的比例小一些。各个测量值可靠程度可以用一数值表示，这数值称为该测量值的“权”，以P表示。 因此“权”可以理解为当测量值进行比较时，对各测量值的信赖程度。 “权”只有相对的意义。,二 “权”的确定方法,既然“权”说明了可靠程度，因此可根据这一原则来确定“权”的大小。例如，可按照测量条件的优劣，测量仪器和测量方法所能达到的精度高低，重复测量次数的多少以及测量者水平的高低等来确定“权”。测量方法越完善，测量精度越高，所得测量结果的“权”也越大。在相同条件下，由不同水平的测量者用同一种测量方法和仪器对同一被测量进行测量，显然对经验丰富的测量者所得到的结果应赋予较大的“权”。 最简单的方法是按测量次数来确定，即其它条件相同，重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大。因此完全可由测量次数来确定“权”的大小。即,设对某个量进行了9次等精密度测量，测量值为u1，u2， u9，最佳值为ui/9, 现将测量值分为三组： 即可看成是三组不等精密度测量。 设,则算术平均值为 最后一等号可看成是三组不等精密度测量的加权算术平均值，P1 ,P2 , P3,分别是三组测量值的权。,权平均：A=（a1*w1+a2*w2)/(w1+w2),该例启发我们用简单的方法来求确定权的一般公式。 假定同一个被测量有m个不等精密度测量的结果，求每组的权。 我们可以把每个测量结果看成是由测量次数不同的一系列等精密度测量的算术平均值。因为是等精密度测量，所以有相同的均方根误差，因为测量次数ni不同所以有不同的精密度因而有不同的权Pi。 m个算术平均值的均方根误差为,或表示为,可见权与标准误差平方成反比,二 “权”的确定方法,1.个人的判断 2.权值正比于测量次数 3.权值正比于标准差平方的倒数,三加权算术平均值,按前述观点，m个测量值看成是m组不等精密度 测量的结果，它们都是等精密度测量列的算术平均值，表示为： 相应的测量次数为 ： 即：,是等精密度测量值。,按等精密度测量的最佳值是算术平均值即：,称为加权算术平均值，是不等精密度测量的最佳值,四 加权算术平均值的均方根误差,对于等精密度测量， 对于不等精密度测量，如果是m组等精密度 测量但每组测量次数不同，对于每组而言，有： 对于全部测量值，有： 所以：, 即：加权算术平均值的标准误差可由一组测量值的均方根误差，相应的权和总权数来确定(方法一）,特殊地，当Pi= 1时， Pi称为单位权，其中 为单位权测量值的均方根误差。 也就是说，加权算术平均值的标准误差也可由单位权测量值的均方根误差和总权数来确定。（方法二） 按标准误差的定义可推导出（方法三）,等精密度测量 不等精密度测量,均方根误差,算术平均值的 均方根误差,剩余误差,对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精密度测量，结果如下： u1= 2000.45mm u1 = 0.05mm u2= 2000.15mm u2 = 0.20mm u3= 2000.60mm u3 = 0.10mm 求加权算术平均值up并表示测量结果。,解：第一步求加权算术平均值up. 设各组的权分别为 P1,P2,P3 取P1= 16，P2=1， P3=4,=(16 2000.45+2000.15+4 2000.60)/21=2000.46,up =,第二步 先求加权算术平均值的均方根误差 解法一 P2=1 = 0.20mm是单位权的均方根误差