,积分学 定积分二重积分,积分域 区 间 平面域,曲线积分,曲线弧,曲面,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,第十一章 曲线积分与曲面积分,第十章,山东交通学院高等数学教研室,10.1 对弧长的曲线积分,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在 xoy 面上对应,其线密度为连续函数,“分割, 作近似, 求和, 取极限”方法.,求此构件的质量.,1 引例:,仍可采用,曲线形构件的质量,是常数,且弧长为 s,则其质量为,不是常数,设 L是xoy 面内的一条光滑曲线弧,在L上有界.,总存在,曲线积分,任意插入一列点,2 定义,如果,则称此极限为函数,在曲线 L 上,(或第一类曲线积分).,把 L 分成n段:,对弧长的,函数,任取点,线密度为 的曲线形构件的质量,线密度,(1)若 L 是闭曲线 , 则记为,存在.,注：,(2) L光滑， 连续,(3) 若 是空间光滑曲线弧，,类似可定义函数,在 上的曲线积分:,3 性质,( 为常数),若,则,例如,二、对弧长的曲线积分的计算,基本思路:,计算定积分,(1)若L:,求曲线积分,P 123,注:,(2) 若L:,(3) 若L:,(4) 若,P 123,例1 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),例2 计算曲线积分,其中L:,法1：,L 的参数方程：,法2:,L 的极坐标方程:,L:,2,法2:,L:,练习 计算,其中L 由,所围成的,区域的整个边界.,补充: 设在 xoy 面上有一分布着质量的曲线弧 L,其线密度为,用对弧长的曲线积分分别表达:,(1) 曲线弧对 x 轴, y 轴的转动惯量,(2) 曲线弧的质心坐标,解: (1),薄片关于x, y 轴的转动惯量为,(2),薄片的质心坐标为,推广: 设空间有一分布着质量的曲线弧 ,其线密度为,曲线弧的质心坐标,则 曲线弧 对 x 轴, y 轴, z 轴的转动惯量,例3 计算半径为 R ,中心角为,对于它的对,称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1).,解:,则,建立如图的坐标系,的圆弧 L,思考: 求圆弧 L 的质心坐标?,例4 计算曲线积分,其中 为螺旋,的一段弧.,解:,线,例5 计算,其中 为球面,解:,化为参数方程,法2,练习 计算,其中 为球面,解:,则,例7 计算,其中 为球面,被平面 所截的圆周.,解:,则,轮换对称性,若L1 ，L2 关于y 轴对称,则,则,对称性定理,且 关于x 轴对称,类似地,例6,已知椭圆,周长为 a , 求,解:,原式 =,利用对称性定理得,内容小结,1 定义,2 性质,曲线弧 L 的弧长,对称性定理,3 计算,(1) 对光滑曲线弧,(2) 对光滑曲线弧,(4)对空间曲线,(3) 对光滑曲线弧,