材 料 力 学,12-4 拉伸（压缩）与弯曲组合变形,12-5 扭转与弯曲组合变形,第十二章 复杂应力状态的强度计算,12-1 强度理论的概念,12-2 关于断裂的强度理论,12-3 关于屈服的强度理论,12-1 强度理论的概念,强度条件的建立:,是用模拟的方法建立的,在单向应力状态下：,(处理相同的构件，根据实验结果来建立强度条件。）,没有考虑材料破坏的原因。,在复杂应力状态下：,（很难做模拟实验）,这样，我们就不做模拟实验，而是要找出材料破坏的真正原因。,关于材料破坏原因的假设强度理论,这样，就有了一些：,提出强度理论的目的：,根据单向应力状态下的实验所获得的材料的极限应力，再联系复杂应力状态下构件破坏的现象来推测处于复杂应力状态下材料的破坏准则，从而建立强度条件。,（1）塑性屈服破坏：由切应力引起。,（2）脆性断裂破坏：由拉应力引起。,在静载荷和室温条件下，材料有两种破坏形式:,最大拉应力 tmax是引起材料断裂破坏的主要因素。也就是认为，不论是在简单应力状态或者是复杂应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力1达到了在轴向拉伸时材料的极限应力o，材料就要发生断裂破坏。,一、最大拉应力理论（第一强度理论）,破坏条件：,12-2 关于断裂的强度理论,破坏条件：,强度条件：,铸铁压缩破坏：,第一强度理论无法解释,适用范围：脆性材料单向、二向、三向拉伸应力状态；塑性材料三向拉伸（值相近）应力状态。,最大伸长线应变max （即1）是引起材料断裂破坏的主要因素。也就是认为，不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大伸长线应变1达到了在单向应力状态下的材料的极限应变值0 ，材料就要发生断裂破坏。,二、最大伸长线应变理论（第二强度理论）,破坏条件：,破坏条件：,强度条件：,适用范围：极少数脆性材料特殊应力状态适用，故很少应用。,最大切应力max是引起材料屈服破坏的主要因素。也就是认为，不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大切应力max达到了在单向应力状态下的材料的极限切应力值s ，材料就要发生屈服破坏。,一、最大切应力理论（第三强度理论）,屈服条件：,12-3 关于屈服的强度理论,屈服条件：,强度条件：,适用范围：塑性材料大多数应力状态。（没有考虑2的影响，偏于安全）,形状改变能密度ud是引起材料屈服破坏的主要因素。即不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的形状改变能密度ud达到了单向应力状态下的形状改变能密度极限值，材料就要发生屈服破坏。,二、形状改变能密度理论（第四强度理论）,屈服条件：,屈服条件：,强度条件：,适用范围：塑性材料，比第三强度理论更符合试验结果。,三、相当应力,把不等式左边按不同强度理论所得的主应力综合值叫相当应力。用r 表示。,强度条件写成统一形式：,四、四个强度理论的应用,1.四个强度理论均仅用于常温、静荷载条件下的均质、连续、各向同性的材料。,2.对于脆性材料，常因脆性断裂而破坏，应采用第一、第二强度理论。对于塑性材料，常因塑性屈服而失效，应采用第三、第四强度理论。,3.在三向拉应力状态下，不管是脆性材料还是塑性材料，都将发生脆性断裂而破坏，因而应采用第一强度理论。在三向压应力状态下，不管是脆性材料还是塑性材料，都将发生塑性屈服而破坏，因而应采用第三、第四强度理论。,4.应指出的是:材料的破坏，不仅与材料有关，而且与工作条件有关。（比如：应力状态的形式、温度、加载速度等有关）,同一种材料，不同的工作条件，可,由脆性塑性,由塑性脆性,或者,例1.平面应力状态如图所示，求r3、 r4 。,解：,求主应力1 、 2 、3,求相当应力r3、 r4,问：以下应力状态， 此两公式适用吗？,例2.已知铸铁元件上危险点的应力状态，请校核该点的强度。 已知t=30MPa。,解：,所以,129.28MPa, 23.72MPa, 30,求主应力1 、 2 、3,例2.已知铸铁元件上危险点的应力状态，请校核该点的强度。 已知t=30MPa。,解：,故：该点满足强度要求。,因为是铸铁元件，选择第一强度理论,强度校核,129.28MPa, 23.72MPa, 30,例3.薄壁圆筒，已知平均直径D =100cm,p =3.6MPa, =160MPa。求壁厚t=？（D/t20),解：,找危险点,薄壁圆筒上各点受力一样，各点危险程度一样。,取单元体,求x,径向上的力相互抵消,求y,水平方向上的投影力相互抵消,确定主应力1 、 2 、3,用第三强度理论求t,用第四强度理论求t,组合变形：由两种或两种以上基本变形组合形成的变形。,工程实例：,12-4 拉伸（压缩）与弯曲组合变形,拉伸与弯曲的组合变形,压缩与弯曲的组合变形,当材料处于线弹性阶段时，杆件上的各种荷载所引起的内力和基本变形互不影响，即各种内力、应力和变形、应变是彼此独立的。,可以应用叠加原理，分别计算由各种简单荷载所产生的应力和变形，然后再进行叠加，即可求得组合变形杆件上的应力和变形。,组合变形的分析方法,叠加原理,组合变形的分析方法,分解和叠加,分解:将载荷分解成只产生一种基本变形的几组载 荷，然后计算内力、应力和变形。,叠加: 将全部简单应力相加得到复杂应力状态。,叠加原理,叠加原理的限制条件:,变形必须是小变形且在线弹性范围内。,判定组合变形的组成形式,（1）外力判定法,拉伸与扭转的组合变形,=,压缩与弯曲的组合变形,（2）内力判定法,分析AB 段的变形？,拉伸与弯曲的组合变形,注意：构件危险点处于单向应力状态时，可以不考虑强度理论，套用以前的方法。,（强度理论仍然生效的，它指出材料破坏的原因，不管是单向应力状态还是复杂应力状态，破坏原因是一样的。）,组合变形的形式主要有: 斜弯曲 偏心压缩 拉(压)弯组合 弯扭组合 拉(压)弯扭组合等形式。,（1）横向力与轴向力同时作用，,拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的受力情况有两种：,（2）偏心拉伸（或压缩）。,杆件除了在通过其轴线的纵向平面内受到垂直于轴线的荷载外，还受到轴向拉（压）力，,这时杆将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。,一、横向力与轴向力同时作用,问题：进行强度计算。,1.外力分析,AB梁属于压缩与弯曲的组合,2.分类画内力图找危险截面,C截面是危险截面：,3.分别计算危险截面在简单变形下的最大正应力,压缩：,弯曲：,4.找危险截面上的危险点,对于塑性材料：上边缘的点危险,=,对于脆性材料：上、下边缘的点都危险,（危险点都为单向应力状态，因此处无。）,中性轴-不通过截面的形心,5.强度计算,=,（塑性材料),（脆性材料）,=,注意：应力叠加结果,例1. 起重架的最大起吊重量（包括行走的小车等）为F=40kN,横梁AB由两根18号槽钢组成，材料为Q235钢，许用应力 =120MPa。试校核AB梁的强度。,解：外力分析,当吊车行走在AB梁跨中时，梁受力最不利，得：,解：外力分析,当吊车行走在AB梁跨中时，梁受力最不利，得：,AB梁属于压缩与弯曲的组合,解：外力分析,分类画内力图,C截面是危险截面：,查表得： A=229.29=58.6cm2, Wz=2152.2=304.4cm3,强度计算,满足强度要求。,二、偏心拉伸（或压缩）,杆件受到平行于轴线但不与轴线重合的力作用时，引起的变形称为偏心拉伸(或压缩)。,轴向拉伸（压缩）,偏心拉伸（压缩）,偏心拉伸,偏心压缩,实质上： 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形,1.外力分析,杆件属于拉伸与弯曲的组合变形,1.外力分析,杆件属于拉伸与弯曲的组合变形,2.计算内力(各截面危险程度一样）,（分类画内力图找危险截面不用做),3.计算最大拉压应力,4.强度计算,例2. 图示钻床的立柱为铸铁制成P =15kN，t=35MPa。试确定立柱所需直径d。,解：外力分析,立柱属于偏心拉伸。,内力计算(不用画内力图）,计算直径d,解得：,例3.试分别求出图示不等截面及等截面杆内的最大正应力，并作比较，已知P =350kN。,解：b图立柱底截面应力：,a图柱底截面上的内力有轴力和弯矩,P,FN,a图柱子下部的变形为压弯组合变形。,解：b图立柱底截面应力：,a图柱子下部为压弯组合变形,a图柱截面的最大正应力较b图柱截面的最大正应力增大三分之一。原因是a图为偏心受压。,12-5 扭转与弯曲组合变形,AB传动轴上1、2齿轮受力如图，计算传动轴的强度。,外力分析,AB传动轴属于扭转与弯曲的组合,分类画内力图找危险截面,分类画内力图 找危险截面,C+截面是危险截面，,在危险截面上找 危险点,截面内力有：,中性轴,C+截面是危险截面，,在危险截面上找 危险点,1点、2点是危险点。, 画危险点的应力状态,强度计算,C+截面是危险截面，,强度计算,塑性材料:选用第三、第四强度理论。,C+截面是危险截面，,强度计算,塑性材料:选用第三、第四强度理论。,讨论： （1）危险点在轴上的位置不重要，因为它随时在变，但危险点的应力状态不变，计算时，第步不要。,在危险截面上找危险点,（2）只适用于圆轴的 双弯加扭转的组合变形。,问：圆轴的双弯？ 圆轴的一个方向的弯曲加扭转？,不 画,讨论： （3）危险截面的判定：,AB传动轴上1、2齿轮受力如图，计算传动轴的强度。,外力分析,AB传动轴属于扭转与弯曲的组合,分类画内力图 找危险截面,是危险截面,画危险点的应力状态,强度计算,小结：r3、 r4的计算,平面应力状态,适用于任何应力状态,适用于圆轴的弯扭组合,本章完,