第二节 定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,面积元素:,面积,(1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (ab)及x轴所围成的平面图形的面积,若f (x)有正有负,则曲边梯形面积为,面积元素:,(2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积:,一般地，,及y轴围成的平面图形的面积为,一般地，,及y轴围成的平面图形的面积为：,一般地，,解,先求两曲线的交点,面积元素,选x为积分变量,例1,例2,围成的平面图形的面积.,解,由对称性,交点,解,两曲线的交点,例3,此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原则：,(1)积分容易； (2)尽量少分块.,解,例4,有时需要把边界函数参数化.,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍,例5,解,例6,345页,面积元素,曲边扇形的面积,2.极坐标情形,扇形面积公式,解,例7,解,例8,解,例9,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1. 旋转体的体积,a,b,体积元素:,旋转体的体积为,直线OP的方程为,解,例1,例2,解,例3,解,利用圆面积,例4,解,下面再补充介绍一个方法.,上例:,套筒法:,解,例5,绕 x 轴旋转的旋转体体积,绕 y 轴旋转的旋转体体积:,可看作平面图OABC与OBC分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.,绕 y 轴旋转的旋转体体积:,可看作平面图OABC与OBC分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.,或用“套筒法”:,2. 平行截面面积为已知的立体的体积,解,建立坐标系如图,截面面积,所以立体体积,例6,垂直于 x 轴的截面为直角三角形,三、平面曲线弧长,并依次连接相邻分点得一内接折线，,则称此极限为曲线弧AB的弧长. 此时称弧为可求长的.,定理(弧长公式),证,在第三章“导数的应用”中弧微分一节知,即得证.,推论1,推论2,证,解,例1,例2,解,例3,解,例4,解,的弧长.,练习：,P279 习题6-2 1. 2.(1)(3) 3. 5.(1)(2) 6. 7. 8.(1) 12. 13. 14. 15.(1)(3) 18. 20. 22. 26. 28. 30.,