1,2019/10/17,第2章 时域离散时间信号与系统,2.1 连续时间信号的采样 2.2 离散时间信号序列 2.3 线性非移变系统 2.4 线性常系数差分方程,2,2019/10/17,2.1 连续时间信号的采样,在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化、编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。本节主要介绍采样定理和信号恢复。,3,2019/10/17,2.1.1 信号的采样,对模拟信号进行采样:一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号 。,4,2019/10/17,2.1.1 信号的采样（续1）,理想采样输出为,2-1,(2.1)式代入(2.2)式，得,2-2,2-3,(t-nT)是单位采样脉冲信号，在tnT时为1，其他时刻为零，故,2-4,采样脉冲序列为,5,2019/10/17,2.1.1 信号的采样（续完）,例：对模拟信号xa(t)=sin(2ft+/8)进行采样，式中f=50Hz，采样频率fs=200Hz，将t=nT代入xa(t)中，得到采样数据：,当n=0，1，2，3，时，得到序列x(n)如下： x(n)=0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879,6,2019/10/17,2.1.2 采样定理,下面分析理想采样后信号频谱发生的变化。我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号各自的傅里叶变换的卷积，按照式(2-2)可知，若,其中，FT表示离散时间信号的傅里叶变换。由于P(t)是周期函数，可表示成傅里叶级数，即,7,2019/10/17,2.1.2 采样定理（续1）,上式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒,2-5,2-6,8,2019/10/17,式2.6表明： 采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期，进行周期性延拓而成的（幅值为原来的1/T倍）。,2.1.2 采样定理（续2）,2-6,9,2019/10/17,2.1.2 采样定理（续3）,采样信号的频谱, 在右图中，设xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，其频谱Xa(j)如(a)所示。,s2c会造成采样信号中的频谱混叠现象，如（d）所示。,s2c则各延拓的频谱信号不会出现混叠现象，如（c）所示。,10,2019/10/17,2.1.3 信号的恢复,如果采样信号的频谱各次延拓分量彼此不重叠，这时采用一个截止频率为s/2的理想低通滤波器对 滤波，即,从前面的信号采样可得原信号的频谱基带分量和采样信号的频谱关系，有,就可得到不失真的原信号频谱，或者说，可以不失真地还原出原来的模拟信号。,2-7,ya(t)=xa(t)， cs/2 ya(t)xa(t)， cs/2,11,2019/10/17,2.1.3 信号的恢复（续1）,ya(t)=IFTYa(j),12,2019/10/17,采样恢复,2.1.3 信号的恢复（续2）,13,2019/10/17,2.1.3 信号的恢复（续3）,下面考虑如何从数字信号转换为模拟信号，即如何从采样值恢复原来的模拟信号。,2-7,由式2.7低通滤波器的传输函数G(j)推导其单位冲激响应g(t)：,14,2019/10/17,2.1.3 信号的恢复（续4）,因为s=2fs=2/T，因此g(t)也可以用下式表示：,傅立叶反变换,2-8,15,2019/10/17,2.1.3 信号的恢复（续5）,和g(t)的卷积积分之后得到理想低通滤波器的输出为：,2-9,2-10,内插函数,输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。,16,2019/10/17,2.1.3 信号的恢复（续6）,内插函数 的特性：在抽样点nT上，其值为1；其余抽样点上，其值为0。,(n-2)T,(n-1)T,nT,(n+1)T,(n+2)T,1,17,2019/10/17,2.1.3 信号的恢复（续完）,恢复过程： 1)在抽样点上，信号值不变； 2)抽样点之间的信号则由各抽样值乘以内插函数波形的延伸叠加而成。如采样时满足采样定理可以实现完全不失真的恢复。,T,2T,3T,18,2019/10/17,2.2 离散时间信号序列,对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到,2.2.1 序列及其表示,2-11,这里n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有序的数字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存储器中，此时nT代表的是前后顺序。,19,2019/10/17,2.2.1 序列及其表示（续）,为了简化，采样间隔T可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即 x(n)=xa(nT)， -n,2-12,信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如： x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1,20,2019/10/17,2.2.2 常用的典型序列,1. 单位采样序列(n),2-13,单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。,21,2019/10/17,单位采样序列,2.2.2 常用的典型序列,1. 单位采样序列(n),2-13,2.2.2 常用的典型序列,2.单位阶跃序列u(n),2-14,单位阶跃序列,2019/10/17,23,2.2.2 常用的典型序列,2.单位阶跃序列u(n),2-14,(n)与u(n)之间的关系如下式所示： (n)=u(n)-u(n-1),注意与单位阶跃函数u(t)的区别,2019/10/17,24,2.2.2 常用的典型序列,3.矩形序列RN(n),2-15,上式中N称为矩形序列的长度。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式： RN(n)=u(n)-u(n-N),2019/10/17,25,2.2.2 常用的典型序列,3.矩形序列RN(n),2-15,如N4，有,注意起止点,2019/10/17,26,2.2.2 常用的典型序列,4.实指数序列,x(n)=anu(n) a为实数。 如果|a|1，序列是发散的，则称x(n)为发散序列。,2-16,2019/10/17,27,2.2.2 常用的典型序列,5.正弦序列,x(n)=Asin(n+) 式中A为幅度；称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数；为起始相角(初相)，单位是弧度。 如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么 xa(t)=Asin(t) xa (t)|t=nT=Asin(nT) x(n)=Asin(n),2-17,28,2.2.2 常用的典型序列,5.正弦序列,因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此，数字频率与模拟角频率之间的关系为 =T 式2.19具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：,2-18,2-19,该式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。,2019/10/17,29,2.2.2 常用的典型序列,6.复指数序列,2-20a,2-20b,式中为数字域频率。还可表示为 x(n)=en (cosn+jsinn),重要性质,复指数序列在数字频率域有2的周期性,2019/10/17,30,2.2.3 序列的周期性, 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -n 则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。 例如： 上式中，数字频率是/4，由于n取整数，可以写成下式：,2-21,),2019/10/17,31,2.2.3 序列的周期性(续1),上式表明 是周期为8的周期序列，如下图所示。,2019/10/17,32,2.2.3 序列的周期性(续2),下面讨论一般正弦序列的周期性。 设 x(n)=Asin(n+) 则 x(n+N) =Asin(n+N)+)=Asin(n+N+) 如果有 x(n) = x(n+N),则要求N=2k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。,2019/10/17,33,2.2.3 序列的周期性(续3),具体正弦序列有以下三种情况： 1）当2/为整数时，k=1，N=2/即为最小正整数，正弦序列的周期2/。前面的例中，=0，=/4，该正弦序列周期为8。,2）2/不是整数，而是一个有理数时，则：设2/ =N/k，式中N、k是互为素数的整数，则正弦序列是以N为周期的周期序列。 例：sin(4/5)n， =(4/5)，2/=5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。,要求：N=2k,2019/10/17,34,2.2.3 序列的周期性(续4),要求：N=2k,具体正弦序列有以下三种情况：,3）若2/是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列肯定不是周期序列。,2019/10/17,35,2.2.4 序列的运算,在数字信号处理中，序列可以做各种运算。这些运算是数字信号处理的基本方法。,1移位运算 若y(n)= x(n-m)，当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时(右移)m位而给出的一个新序列y(n)，而x(n+m)则指依次超前(左移)m位。,思考1 把x(-n)向右移动1位变成？,2019/10/17,36,2翻转（反褶）运算 如果序列为x(n)，则x(-n)是以n0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。,思考2 把x(n-1)翻转变成？,2019/10/17,37,3和（相加）运算 两序列的和是指同序号的序列值逐项对应相加而构成一个新的序列，表示为 z(n)x(n)+ y(n),2019/10/17,38,4积（相乘）运算 两序列相乘是指同序号的序列值逐项对应相乘。表示为 z(n)x(n)y(n),5差分运算 差分运算是指同一序列中相邻序号项的幅值差。表示为 前向差分 x(n)x(n+1)- x(n) 后向差分,2019/10/17,39,6累加运算 设序列为x(n)，则序列x(n)的累加序列y(n)定义为 它表示y(n)在某一个n0上的x(n0)值等于以前的所有n值上的x(n)值之和。,2019/10/17,40,7序列的重排(比例)变换 对于序列x(n)，其比例变换序列为x(mn)或x(n/m)，其中m为正整数。 例如，当m=2时，x(2n)不是x(n)序列简单地在时间轴上按比例增一倍，而是以低一倍的采样频率从x(n)中每隔1点取1点，如果x(n)是连续时间信号x(t)的采样，则相当于将x(n)的采样间隔从T增加到2T，这就是说，若 x(n)x(t)|tnT 则 x(2n)x(t)|tn2T 我们把这种运算称