综合与实践,义务教育教科书（湘教）八年级数学下册,第2章,平面图形的镶嵌,义务教育教科书（湘教）八年级数学下册,第2章,好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.,情境引入,装修房间时，常常用正方形或正六边形等形状的地砖铺地面,用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这叫做平面镶嵌。镶嵌也叫密铺。,注意： 各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠。,定义：,自主预习,仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？,探究（一）,新知探究,1.正三角形的平面镶嵌,60,60,60,60,60,60,6个正三角形可以镶嵌。,2.正方形的平面镶嵌,90,4个正方形可以镶嵌。,3.正六边形的平面镶嵌,120 ,120 ,120 ,3个正六边形可以镶嵌,1,2,3,1+2+3=?,4.用边长相同的正五边形能否镶嵌？,思考：,为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？,要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于360,还有其它正多边形能镶嵌吗？,小 结,。,(n-2)(k-2)=4,k=6 n=3,k=4 n=4,k=3 n=6,设在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，则有, k 为正整数， n 为大于等于 3 的正整数,解为,正多边形可以镶嵌的条件：,每个内角都能被360o 整除。,用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域?,探究（二）,2m+3n=12,m=3 n=2,m60 +n90 =360,设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方形的角，则有, m,n 为正整数,解为,1.正三角形与正方形,3个正三角形+2个正方形,m+2n=6,m=2 n=2,m=4 n=1,m60 +n120 =360,设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六 边形的角，则有, m,n 为正整数,解为,2.正三角形与正六边形,2个正三角形+2个正六边形,4个正三角形+1个正六边形,1个正方形+2个正八边形,3.正方形与正八边形,2个正五边形+1个正十边形,4.正五边形与正十边形,5.正三角形与正十二边形,1个正三角形+2个正十二边形,当拼接点处的所有角之和是360时，就能拼成一个平面图形。,小 结,1个正三角形+2个正方形+1个正六边形,仅用同一种形状、大小完全相同的多边形能进行平面镶嵌吗？,探究（三）,1.同一种任意三角形的镶嵌,结论： 形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。,通过探究我发现：,1.任意形状、大小相同的三角形都_镶嵌, 2.在每个拼接点处有_个角，而这_个角的和恰好是这个三角形的内角和的_倍，也就是它们的和为_.,可以,六,六,两,360o,2.同一种任意四角形的镶嵌,结论： 形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。,通过探究我发现：,1.任意形状大小相同的四边形_ 镶嵌. 2.在每个拼接点处有_个角，而这_个角的和恰好是这个四边形的四个内角之_,也就是它们的和为_.,可以,四,四,和,360,想一想,上面我们讨论的一般三角形和四边形都可以平面镶嵌，因为三角形的内角和是180，四边形内角和是360它们的内角和是整数倍都是360，那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？,例如： 在五边形中，内角和540，已经超过360，即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的含义。当边数越大时，内角和也越大，更不符合要求，因此边数大于4的一般多边形不可以平面镶嵌。,1.要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有角之和等于360。,2.任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌,3.任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌,4.用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、正方形、正六边形,5.用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形等。,知识梳理,人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。 列夫托尔斯泰,结束语,