1,第五章 刚体力学基础习题课（第三讲）,大学物理（一）,主讲：陈秀洪,一、小结,二、 例题,2,1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2）任一质点运动 均相同，但 不同； 3）运动描述仅需一个坐标 .,定轴转动的特点,1、刚体定轴转动的描述,一、小结,3,2、力矩,:力臂,刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 .,对o点 的力矩,4,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,其中 对转轴的力 矩为零，故 对转轴的力矩,对Z轴的力矩：,沿Z轴的分量,5,3、转动惯量,物理意义：转动惯性的量度 .,质量离散分布刚体的转动惯量,转动惯性的计算方法,转动惯量的决定因素为：,转轴的位置。,质量分布；,总质量；,6,4、转动定律,5、转动动能,M与具有：同轴性、同时性、同方向性。,6、力矩的功,7、 刚体绕定轴转动的动能定理,(1)质点的角动量,质点以角速度作半径为r 的圆运动，相对圆心的角动量大小：,大小,8、角动量,7,（2）质点系的角动量：,（3）刚体作定轴转动的角动量：,质点系内部所有质点对某一定点的角动量，即：,作定轴转动的刚体，其内部所有质点绕轴做半径不等的圆周运动，具有相同的角速度：,矢量式：,8,10、角动量守恒定律,9、角动量定理：,（1）质点系角动量定理,（2）刚体定轴转动角动量定理,（1）质点系角动量守恒定律,（2）刚体定轴转动角动量守恒定律,条件：,结论：,9,定轴转动角动量守恒定律讨论：,多个刚体，角动量守恒表达式为：,单个刚体，角动量守恒 即： =C 刚体作惯性转动。,条件：,结论：,10,质点和刚体，角动量守恒表达式为：,注意： 是质点速度在 转动平面内的分量。,11,对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守 恒的表达式：,若动作后角速度增加，则与d 同向，所以,12,刚体力学习题课（14） 1.质量为M的匀质圆盘，可以绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m，长为L的匀质柔软绳索(如图)，设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大小。,0,解:受力分析如图:,二、 例题,13,0,(1);,(2),(3);,(4),(5),(6),(7),解得:,14,2.固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴00转动，设大小圆柱的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R =0.20m，r =0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。,解：受力分析如图,15,3.长为L的均匀细杆可绕过端点O的固定水平光滑轴转动。把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时，刚好和光滑水平桌面上的小球m相碰，如图所示，球的质量和杆相同，设碰撞是弹性的，求碰后小球获得的速度.,0,解:机械能守恒:,碰撞:角动量守恒,机械能守恒.,解得:,(1),(2),(3),16,对于(2)式,也可从如下得到:,设碰撞时间为:,对小球由质点的动量定理:,对棒由角动量定理:,0.,17,4. 一半径为R0.30 m，质量为M15 kg，质量均匀分布的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m8.0 kg的物体。不计圆柱体与轴之间的摩擦，求物体自静止下落，5 s内下降的距离。,解：受力分析如图,解得：,18,例1、 一长为 l , 质量为 的竿可绕支点O自由转动 . 一质量为 、速率为 的子弹射入竿内距支点为 处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为多少 ?,解 把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守恒,射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统 ，机械能守恒 .,19,例2：长为L的匀质细棒，一端悬于O点，自由下垂，紧接O点悬一单摆，轻质摆绳的长为L，摆球的质量为m，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与细杆作完全弹性碰撞，碰后单摆停止。 求：(1) 细杆的质量； (2) 细杆摆动的最大角度,解:,球下摆机械能守恒,球与细杆作完全弹性碰撞,角动量守恒：,机械能守恒：,杆摆动机械能守恒：,解得:,20,例题3、一均匀圆盘,质量为M,半径为R,可绕铅直轴自由转动,开始处于静止状态,一个质量为m的人,在圆盘上从静止开始沿半径为r的圆周走动,如图所示.求当人走完一周回到盘上原位置时,圆盘相对于地面转过的角度.,.,解:,由人、圆盘组成的系统对铅直轴角动量守恒,21,.,式中:负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反.,22,例4：一根长为l，质量为m的匀质细杆，一端与光滑的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定一质量也是m的小球，且小球半径Rl。设杆由水平位置自由释放。 求：杆下摆至任意角度时的角速度和角 加速度,23,解：细杆在下摆过程中，重力矩作用杆的质心处，,即：,小球的重力矩：,由转动定律：,所以有：,即：,24,解得：,利用机械能守恒定律求解：,25,例题5、如图,一矩形匀质薄板ABCD,长为l、宽为d、质量为m。板绕竖直轴AB以初角速度 转动，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，比例系数为k。问经过多少时间后，薄板的角速度减为初角速度的一半？,解：这是定轴转动问题，利用定轴转动定律求解。,如图：取面元,受阻力：,对轴的阻力矩：,所有对轴的阻力矩：,26,面密度：,，板对轴的转动惯量：,由定轴转动定律：,即：,解得：,27,例题6.装置如图所示,绳的上端绕在圆柱上,下端系一重物,质量为m.重物自然下垂,由静止开始下落,并带动圆柱自由转动.求重物降落高度为h时的速率v.已知圆柱的质量为M,半径为R.(绳子的质量不计且不可伸长.),解:,（1）,（2）,法二:,28,例题7.如图所示,两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动,两轴互相平行.圆柱半径分别为 质量分别为 .开始时两柱分别以角速度 同向旋转.然后缓缓移动它们,使之相互接触.求两柱的最终角速度,(2),（3）,（4）,（5）,29,例题8. 如图，已知：木板宽L=0.60m、质量M =1kg，木板绕水平固定光滑OO轴的转动惯量为J=ML2/3。质量为m=1010-3kg的子弹以v0 =500m/s速率，距OO轴为l = 0.36m处垂直射穿木板，子弹穿出木板后速率为v=200m/s。 求:（1）子弹给木板的冲量； （2）木板获得的角速度。,30,解（1）由动量定理，得,（2）由角动量守恒，得,其中：,解得：,木板给子弹的冲量,子弹给木板的冲量,31,例题9. 已知：棒长2L，质量m，以v0平动时，与支点O发生完全非弹性碰撞。碰撞点为L/2处，如图所示。求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度。,解:碰前棒对O点的角动量,如图：取,角动量：,碰后棒对O点的角动量,角动量守恒：,32,例题10. 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒,33,由角动量定理,即,考虑到,