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相交线与平行线,第4章,平面上两条直线的位置关系(1课时),4.1,平面上两条直线的位置关系(链接),平行线的画法(链接),平行公理及推论(链接),4.1.1,相交与平行,(一),平面上两条直线的位置关系,小明家客厅的窗户由两扇塑钢玻璃窗页组成,下图为两扇窗页全关、半开的状态. 我们把两扇窗页近似地看成在同一平面内,观察图中每扇窗页的塑钢边所在的直线,问题1: 图中任意两条塑钢边所在的直线公共点的个数有几个?请举例说明,图中两条直线公共点的个数: (1)1个,如:AD和AB,EH和EF,图中两条直线公共点的个数: (1)1个 (2)无数个,如:AD和AB,EH和EF,如:AD和EH,BC和FG,如:AB和DC,AD和BC,图中两条直线公共点的个数: (1)1个 (2)无数个 (3)0个,如:AD和AB,EH和EF,如:AD和EH,BC和FG,小明家客厅的窗户由两扇塑钢玻璃窗页组成,下图为两扇窗页全关、半开的状态. 我们把两扇窗页近似地看成在同一平面内,观察图中每扇窗页的塑钢边所在的直线,问题1: 这些直线的相互位置有哪些关系?,图3-36,如:AB和DC,AD和BC,图中两条直线公共点的个数: (1)1个 (2)无数个 (3)0个,如:AD和AB,EH和EF,如:AD和EH,BC和FG,相交,重合,既不相交,也不重合,由此可见,同一平面上的两条直线,可能相交,可能重合,还可能既不相交,也不重合.,今后如果没有特别说明,两条重合的直线只当做一条,铁路上的两条铁轨,,一排挺立的电杆,,栅栏里的竖条,,都给我们以两条直线既不重合也不相交的形象.这样的两条直线没有公共点.,同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行线.,平行用符号“”表示.,若AB与CD平行,记做AB CD,读做AB平行于CD.,问题2:平行线在生活中很常见, 你能举出一些例子吗?,双杠、梯子、操场上的跑道.,问题3:在同一平面内,两条直线有哪些位置关系?,相交和平行,(二),平行线的画法,问题4:如何画平行线呢?给一条直线a,你能画出直线a的平行线吗?,(三),平行公理及其推论,返回,问题5:过点B画直线a的平行线,能画出几条?再过点C画直线c的平行线,它和前面过点B画出的直线平行吗?,平行公理:,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,平行公理推论:,平行于同一直线的两条直线平行,如果ab,cb,那么ac.,这是因为,若a与c不平行,就会相交于某一点P,那么过点P就有两条直线与b平行,这是不可能的, 所以ac.,一条线段向两端无限延伸就得到一条直线,这说明直线有两个方向,取定一个方向,就确定了另一个方向,问题6: 在每条直线上取定一个方向,两条直线平行,它们的方向有什么关系?,若两条直线平行, 则它们的方向相同或相反,,问题7: 具有相同方向或相反方向的两条直线有什么位置关系?,两条直线平行,两条直线平行,两条直线的方向相同或相反,1. 读下列语句,并画出图形 (1)如图(1),过点A画EF BC; (2)如图(2),在AOB内取一点P,过点P画PC OA交OB于C,PD OB交OA于D,(1),(2),P,E,F,D,C,2. 如图,在同一平面内,若ABCD,EF与AB相交于点P,EF能与CD平行吗?为什么?,答:假设EFCD, 则因ABCD, 所以根据平行线的传递性, 便有ABEF. 与AB和EF相交于P点矛盾, 所以EF与CD不平行.,3. 如图是用电脑画出来的“花”,它由一些平行线段组成,先指出其中有几组平行线段,然后自己也用画平行线的方法设计一件“艺术品”.,例1,如图,在长方体中,与棱AD平行的棱共有 条.,3,1平面内两条直线有哪些位置关系? 2平行公理及其推论的内容是什么?,相交直线所成的角 (2课时),4.1.2,问题1:这里有一把剪刀,握紧剪刀的把手,就能剪开物体,如果把剪子的构造抽象成一个几何图形,会是什么样的图形?请你在笔记本上画出.,问题2:仔细观察你所画的图形,当两条直线相交时,所形成的四个角中,1与3有怎样的位置关系?,对顶角的定义:1和3有一个公共顶点O,并且1的两边分别是3的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.,问题3:你所画的图形中还有哪些对顶角?, 2和 4,问题4:1与3有怎样的数量关系?,你能说出1=3的道理吗?,因为 1与2互补, 3与2互补 (邻补角的定义), 所以1=3(同角的补角相等) 同理2=4 ,对顶角的性质:对顶角相等,问题5:三条直线相交会形成什么样的角呢?,1,1,1,2,3,4,5,6,图1,三条直线相交于一点时,所形成的角之间的关系有:对顶和临补两种主要关系 ,问题5:和三条直线相交于一点的位置关系相比较,如图三条直线之间是怎样的位置关系?,问题6:1, 2, 3, 4 之间的位置关系有哪些?,5, 6,7, 8间的位置关系有哪些?,1, 2, 3,4中的角和5, 6, 7, 8中的角有哪些位置关系呢?,两条直线被第三条直线截,问题(1):先看图中的1和5,它们具有怎样的位置关系?,这两个角分别在直线AB,CD的 同一方(上方),并且都在直线MN的 同侧(右侧),即具有这种位置关系的 一对角叫做同位角.,问题(2):图中还有哪些角是同位角?,2和6;3和7;4和8是同位角.,问题(3):再看图中的3和5,它们具有怎样的位置关系?,这两个角都在直线AB,CD之间,并且分别在直线MN两侧(3在直线MN左侧,5在直线MN右侧),具有这种位置关系的一对角叫做内错角.,问题(4):图中还有哪些角是内错角?,4和6.,问题(5):图中还有角之间存在较特殊的位置关系吗?,也都在直线AB,CD之间,但它们在直线MN的同一旁(左侧),具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.,问题(6):图中还有哪些角是同旁内角?,4和5.,问题7:两条直线被第三条直线截,所形成的八个角 之间有哪些位置关系?,对顶、临补、同位、内错、同旁内角,问题8:如图三条直线有怎样的位置关系?,三条直线两两相交,问题9:三条直线两两相交所形成的 12个角之间有哪些位置关系?,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,这12个角之间有哪些数量关系?,问题10: 如图3-45,假设直线AB,CD被MN所截,有一对同位角相等,其它的角在数量上有什么关系?比如说1=5.,(1)3与1是什么角?7与5是什么角? 同位角3与7在数量上有什么关系?,答:3与1是对顶角. 7与5是对顶角.,3与7相等.,其他的同位角也相等吗?,2=6,4=8.,(2)内错角3与5在数量上有什么关系?,(3)同旁内角4与5在数量上有什么关系?,答:因为3=1,,答:因为1=5,4 +1=180.,1=5,,所以3与5相等.,所以4 +5=180,4 与5互补.,其他的内错角也相等吗?,其他的也同旁内角也互补吗?,4=6,3和6互补.,应用“对顶角相等”,“等量代换(即如果a=b且c=b,那么a=c)”及等式的基本性质可以得出:,(1)两直线被第三条直线所截,如果有一对同位角 相等,那么其他几对同位角也相等,并且内错 角相等,同旁内角互补.,1=5,那么 同位角2=6, 3=7,4=8.,内错角3=5,4=6.,同旁内角4和5互补, 3和6互补.,类似地还可以得出:,(2)两直线被第三条直线所截,如果有一对内错角 相等,那么另一对内错角也相等,并且同位角 相等,同旁内角互补.,4=6,那么,内错角3=5,,同位角1=5,2=6. 4=8,3=7.,同旁内角4和5互补, 3和6互补.,(3)两直线被第三条直线所截,如果有一对同旁内 角互补,那么另一对同旁内角也互补,并且同 位角相等,内错角相等.,4和5互补,那么,同旁内角 3和6互补,,同位角 1=5,2=6. 4=8,3=7,内错角 4=6,3=5.,1. 如图3-46,工人师傅用对顶角量角器量工件的角,其中1的度数可以从仪器上读出.试说明它测量角的原理,答:利用“对顶角相等” 的原理.,图3-46,练习,2. 如图3-47,直线a,b被直线c所截,找出 图中所有的同位角、内错角、同旁内角. 设1=4=108,求其他角的度数.,答:1与4,2与5是同位角; 3与4是内错角; 2与4是同旁内角. 因有一对同位角相等, 即1=4=108, 所以3=4=108; 2 = 180-1 = 72; 5 = 180-4 = 72.,图3-47,3、如图3-44,直线DE与AB,AC相交,构成8个角. 指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角.,图3-44,解:同位角是2和5,1和8, 3和6,4和7; 内错角是1和6,4和5; 同旁内角是1和5,4和6.,归纳小结,2. 你认为在图形中识别对顶角、同位角、 内错角、同旁内角的关键是什么?,1. 你能总结一下对顶角、同位角、内错角、 同旁内角分别具有哪些特征吗?,3. 对顶角一定相等;同位角、内错角、同旁 内角之间一定具有什么数量关系吗?,
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