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高中高一数学必修 1 各章知识点第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性说明:(1) 对 于一个给 定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示: 如 我校的篮球队员 ,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52集合的表示方法:列举法与描述法。注意啊:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R关于“属于 ”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 aA ,相反,a 不属于集合 A 记作 aA列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语 言描述法:例: 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法:例:不等式 x-32 的解集是xR| x-32或x| x-324、集合的分类:1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合 例:x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2“相等”关系(55 ,且 55,则 5=5)实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B 任何一个集合是它本身的子集。A A真子集 :如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作”A 交 B”),即 AB=x|xA,且 xB2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A B(读作”A 并 B”),即 AB=x|xA,或 xB3、交集与并集的性质:AA = A, A= , AB = BA,AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集与补集(1)补集:设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即 ),由 S 中所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA =x | xS 且 xASCsA A (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。(3)性质:CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA)A=U二、函数的有关概念1函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合B 的一个函数 记作: y=f(x),xA其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定 义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意:2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题 中的函数的定 义域还要保证实际问题有意义.(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:表达式相同;定义 域一致 (两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例 2)值域补充(1)、函数的值域取决于定 义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定 义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线 最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标 在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数)常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用:1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4快去了解区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示5什么叫做映射一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A B”给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b的原象说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B 及对应 法则 f 是确定的;对应法则 有“ 方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的; 对于映射 f:AB 来说,则应满足:( )集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的;()集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个;()不要求集合B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点:1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值补充一:分段函数 (参见课本 P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二:复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x),(xA) 称为f、g 的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7函数单调性(1)增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1,x2,当 x11,且 *当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数此时, 的 次方根用符号 表示式子 叫做根式(radical),这里 叫做根指数(radical exponent), 叫做被开方数(radicand)当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成 ( 0)由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 。注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时, 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:, 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质(1) ;(2) ;(3) (二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential ),其中 x 是自变量,函数的定义域为 R注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1010a1图象特征函数性质 函数图象都在 y 轴右侧函数的定义域为(0, )图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为 R函数图象都过定点(1,0)自左向右看,图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0第二象限的图象纵坐标都小于 0(三)幂函数1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数2、幂函数性质归纳(1)所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且图象都过点(1,1);(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函
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