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导数在研究函数中的应用知识点一、导数的几何意义函数在处导数是曲线在点处切线的 ,即_;相应地,曲线在点处的切线方程是 例1.(1)曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. (2)若曲线上点处的切线平行于直线,则点的坐标是( ) A. B. C. D.【变式】(1)曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. (2)若曲线在点处的切线平行于轴,则的值为( ) A. B. C. D.知识点二、导数与函数的单调性(1)如果函数在定义域内的某个区间内,使得,那么函数在这个区间内为 且该区间为函数的单调_区间;(2)如果函数在定义域内的某个区间内,使得,那么函数在这个区间内为 ,且该区间为函数的单调_区间.例1.(1)函数的单调递增区间为( ) A. B. C. D. (2)函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D.例2.求下列函数的单调区间,并画出函数的大致图像.(1) (2)(3) (4)知识点三、导数与函数的极值 函数在定义域内的某个区间内,若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的 ,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是 (熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点)例1.(1)求函数的极值 (2)求函数的极值 例2.(1)已知函数,则下列关于说法正确的是( ) A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值,又有极小值 D.既无极大值,有无极小值(2)已知函数在处有极值,则的值分别为( ) A., B., C., D., (3)函数在处取得极小值,则的值为( ) A. B. C. D.知识点四、导数与函数的最值例1.(1)求函数在的最大值和最小值(2)求在区间上的最大值和最小值 (3)求函数的最小值【思考】(1)三次函数的图像的特征有哪些?(2)三次函数在定义域是严格单调还是不单调由什么决定?(3)三次函数的图像与轴的交点个数(或函数的零点个数)由什么决定?(4)函数有没有极值对其单调性有怎样的影响?(5)函数的极值点个数与函数的最值有怎样的关系?【注意】(1) 在区间内是函数在此区间上为增函数(减函数)的充分不必要条件.(2) 函数在上是增函数的充要条件是对任意的,恒成立(3) 函数在上是减函数的充要条件是对任意的,恒成立(4) 是可导函数在点处有极值的必要不充分条件(即导数值为的点不一定是极值点,但极值点处的导函数值一定等于)知识点五、有关参数的取值范围问题例1.(1)已知函数是上的单调函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. (2)若有极大值和极小值,则的取值范围为( ) A. B. C. D.(3)若函数在内单调递减,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. (4)若函数在区间单调递增,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 例2.(1)函数,若存在唯一的零点,且,则的范围是( ) A B CD(2) 函数有两个零点,则的取值范围( ) A B CD【经典训练题】1、设曲线在点(1,)处的切线与直线平行,则( )A1 B C D2、曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 3、已知曲线在点处的切线与直线垂直,则的值为( ) A. B.0 C.2 D.14、直线与曲线相切,则的值为( ) A2 B1 C D1 5、 函数的递增区间是( ) A. B. C. D. 6、函数的单调递减区间是( ) A B C D7、是可导函数在点处有极值的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件8、函数的极大值,极小值分别是 ( ) A. 极小值-1,极大值1 B. 极小值-2,极大值3 C. 极小值-2,极大值2 D. 极小值-1,极大值39、函数,已知在时取得极值,则=( ) A.2 B.3 C.4D.510、在区间上的最大值是( ) A. B.0 C.2 D.111、函数在上的最大值和最小值为( ) A. B. C. D.12、已知函数,下列结论中错误的是( ) A., B.函数的图象是中心对称图形 C.若是的极小值点,则在区间单调递减 D.若是的极值点,则13、设函数在定义域内可导,的图象如右图所示,则导函数的图象可能为( ) 14、设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可能的是( ) (A) (B) (C) (D)16、 已知函数在上是增函数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 17、 已知函数在上是增函数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 18、函数在其定义域的子区间内不是单调函数,则实数的取值范围( ) A. B. C. D. 19、 已知函数在上有最小值,则实数的取值范围( ) A. B. C. D. 20、函数与轴只有一个交点,则实数的取值范围( ) A. B. C. D. 导数经典解答题典例1.已知函数,求函数在区间上的最大值和最小值.【思考】在下列区间上的最大值和最小值(1)在区间(2) 在区间(3) 在区间(4) 在区间【注意】题型1、求函数的单调区间(或讨论单调性)典例2.(1) 已知函数,讨论的单调性;(2) 已知函数,求的单调增区间;(3) 已知函数,讨论的单调性;题型二、利用导数求函数的极值和最大(小)值典例3.已知函数,其中(1) 求的单调区间(2) 讨论的极值典例4.已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值.典例5.已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若,且函数在区间上的最大值为2,求的值.典例6.已知函数是上的奇函数,当时取得极值.(1)求的单调区间和极大值;(2)证明:对任意不等式恒成立.题型三、利用导数求参数的取值范围典例7.已知(1) 若在时有极值,求的值;(2) 若函数的图象与函数的图象恰有三个交点,求实数的取值范围典例8.设函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)若函数在内恰有两个零点,求实数的取值范围.典例9.已知函数在与处都取得极值.(1)求实数的值;(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围.典例10.已知函数,其中. (1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若在区间上,恒成立,求的取值范围.典例11.设函数.(1) 求的单调区间;(2) 若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.典例12.已知函数.()求的最小值;()若对所有都有,求实数的取值范围.典例13.已知函数 (1)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;(2)若函数在区间上不单调,求的取值范围典例14.已知函数图像上的点处的切线方程为(1) 若函数在时有极值,求的表达式;(2) 函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.典例15.已知函数,设(1)求函数的单调区间;(2)若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值。典例16.已知函数,函数的图像在点处的切线平行于轴.(1) 确定与的关系(2) 试讨论函数的单调性典例17.已知函数.(1) 当时,求曲线在点处的切线方程(2) 当时,若在区间上的最小值为,求的取值范围典例18.已知函数,.(1)当时,求曲线在点处的切线方程(2)若没有零点,求的取值范围典例19.已知函数,,其中.(1)求函数的单调区间(2)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围典例20.已知函数图像上的点处的切线方程为(1) 求函数的解析式(2) 若函数在上恰有两个零点,求实数的取值范围典例21.已知函数,.(1) 若函数在处取得极值,求的值(2) 若函数的图像在直线图像的下方,求的取值范围典例22.已知函数,设曲线在点处的切线为.(I)求实数,的值(II)设函数若,求函数的单调区间若,求证:当时,
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