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人教版八年级数学(上),角的平分线的性质,寮步中学 李苑华,复习提问,1、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角,,这条射线叫做这个角的平分线。,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,探究1:,角的平分线的作法,你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?,证明: 在ACD和ACB中 AD=AB(已知) DC=BC(已知) CA=CA(公共边) ACD ACB(SSS) CAD=CAB AC平分DAB(角平分线的定义),尺规作角的平分线,A,画法:,以为圆心,适当长为半径作弧,交于,交于,分别以,为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,探究角平分线的性质,(1)实验:将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,已知:如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E。,求证:PD=PE,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,证明: PDOA,PEOB(已知) PDO=PEO=90(垂直的定义),在PDO和PEO中, PD=PE, PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO(AAS),角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为:,A,O,B,P,1,2, 1= 2 PD OA ,PE OB PD=PE,推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个。,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件:,定理的作用:,证明线段相等。,1、判断: (1) 如图,AD平分BAC(已知), = ,( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,(),小试牛刀,(2) 如图, DCAC,DBAB (已知), = ,( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,(), AD平分BAC, DCAC,DBAB (已知), = ,( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,2、填空: (1)点P在AOB的角平分线上,且PD OA,PE OB,垂足分别为D、E,PD=3cm,则PE= cm.,(2)在ABC中, C=90 , BAC的平分线交BC于D,且DC=8cm,则点D到AB的距离DE= = cm.,(1),(2),3,8,在OAB中,OE是它的角平分线,且EA=EB,EC、ED分别垂直OA,OB,垂足为C,D. 求证:AC=BD.,例题讲解,在ABC中, C=90 ,AD为BAC的平分线,DEAB,BC7,DE3. 求BD的长。,巩固新知,如图,在ABC中,C=90 AD是BAC的平分线,DEAB于E,F在AC上,BD=DF; 求证:CF=EB,巩固提高,这节课我们学习了哪些知识?,课堂小结,1、“作已知角的平分线”的尺规作图法;,2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。, OC是AOB的平分线, 又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等).,几何语言:,课堂检测,1、如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上, PD OA,PEOB,垂足分别是D、E, PD=4cm,则PE=_cm.,2、如图,AD是BAC的平分线,DEAB于E, DFAC于F,且DB=DC,求证:BE=CF,如图,的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点 求证:点到三边,所在直线的距离相等,F,G,H,拓展延伸,
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