2007 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西南大学 参赛队员 (打印并签名) 1. 谢勇 2. 陈万里 3. 唐志能 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李嘉 日期： 07 年 09 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1中国人口增长预测模型摘要无论是对于中国目前的经济发展状况还是未来的远景规划，人口问题的研究都具有十分重要的意义。本文针对中国现行人口政策下，人口发展过程中出现的诸多新特点（如人口老龄化，社会劳动率下降等），提出了一种基于综合多因素分析，预测人口发展趋势，人口各项指数变化规律与政策方案实施的数学模型矩阵乘法模型。这种方法概括起来就是：把现有的分年龄分性别人口数处理成矩阵 ，分年龄分K性别的存活率与修改后的生育率构成方阵 ， 的乘积所产生的列矩阵，就是按MK预测初始年人口年龄分组的组距所确定的第一个预测周期末的人口。矩阵乘法模型对于预测近二十年人口数量增长较为精细，因此我们直接用它来进行中短期人口增长预测，并由题中所给样本数据得出了中国 2006 年女性人口预测表，以及从 2006 到 2015 年中国人口增长趋势表等。但是由于矩阵乘法模型没有考虑到国家政策等因素的影响，因此在分析了国家人口数量的可能走向后，我们决定对矩阵模型进行优化。在查找了相关文献资料后，结合中国具体国情，我们给出适合国家发展的选择性总和生育率，取为 1.8，再据此分别算出各年龄组修正生育率，以及通过对突变数据的过滤性筛选，再对中国人口数量增加作出预测。于是，在对原来用于中短期人口预测的数学模型矩阵乘法模型进行优化之后，我们就将它用来对长期人口增长进行预测，并由此得到从 2006 到 2055 年 50 年间中国人口增长曲线及统计表格，并由此对中国人口增长的长期趋势做出数量上的合理预测。优化后的矩阵乘法模型用于长期人口预测，对于预测五十年左右人口数量精确度较高。该模型中选择了人口各项指数发展较为平稳的年份的人口数据（资料与数据主要为2005年的中国人口年鉴，并以各年的中国人口年鉴做为参考），并对于题中所给数据中的“突变”数进行了选择性过滤，对于数据中“稳定变化的数据” 做了确定分析，以尽量提高其精确度。关键词： 矩阵乘法模型 存活率 分组年龄生育率 女婴出生比重 2一、问题重述中国是世界上人口最多的发展中国家，新中国成立后,中国人口进入飞速发展阶段。但 80 年代以后实施的计划生育,使人口膨胀得到了有效的控制。实行近 30 年来,使中国少出生 3 亿多人,节约家庭社会抚养费 7 亿多元。为中国现代化建设、全面实现小康社会打下了坚实的基础,同时也为世界人口控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大,人口增长问题依然十分严峻。19901999 年每年平均净增长人口约 1300 万,这对中国社会和经济产生了巨大压力。在中国现代化进程中必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展,必须进一步控制人口数量,提高人口质量,改善人口结构。因此,准确预测未来 50 年人口数量演化规律,能够为中国经济和社会发展的重大决策提供科学依据,这对加速推进中国现代化建设有着极为重要的现实意义。中国是一个人口大国，人口问题始终是制约中国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国的人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考题中所给的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据） ，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出所建模型中的优点与不足之处。二、问题假设1、假设中国的人口没有迁入和迁出，在一定时期内人口流向是封闭的，即只由中国某地区移向另一地区。（中国向国外及国外向中国移民较少，忽略不计）2、假设只存在农村向城市的人口迁移。（城市向农村移民较少，对比农村向城市移民可忽略）3、假设无大规模灾难及大规模威胁人生命的的疾病爆发，人口的消长都是自然的。4、假设各个年龄段的妇女比例在一段时间内是不变的。5、假设生存空间及资源相对人口数量较为充裕，人们基本上可以自由生育。(即人口的增长不受资源制约，且资源结构相同)6、假设题中所给样本能够反映全国总人口的特征。如出生人口性别比、男女性别比、存活率等。7、假设分年龄分性别人口存活率和妇女分年龄生育率在整个预测周期内（若干预测周期）不发生变化。8、假定婴儿出生性比重，分年龄分性别人口存活率和妇女分年龄生育率在整个预测周3期内（若干预测周期）不发生变化。三、问题分析近年来中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，都影响着中国人口的增长。从以下这些图表中就可以清晰地看出中国目前的人口国情。 老年人比例表表 一从表一和图一中我们可以清晰的看出，中国人口老龄化比例近年来近似呈直线增长，人口老龄化问题在中国已经成为一个不容忽视的问题，并且随着医学的发展以及医疗体系的完善，在相当长的一段时间内我们国家人口老龄化将更加显著。中国老年人口数量多、老龄化速度快、高龄趋势明显，也是世界上老年人口最多的国家。人口老龄化将导致抚养比不断提高，对社会保障体系和公共服务体系的压力加大，并影响到社会际关系的和谐。农村社会养老保障制度不健全，青壮年人口大量流入城市，使农 图 一 图 二 村老龄化形 势更为严峻。尤其要关注庞大老年人群中的贫困化和边缘化问题。图二是出生人口性别比例表，从左表中我们可以得出如下的结论：在最近的十几年里，不管是在市、镇还是在乡村都存在这样一个问题，男女比例严重失调，不符合生物理论中的自然生育率，其中主要原因还是由于传统的重男轻女的观念左右着人们。最严重的还是乡村地区，从表二看到在过去的十几年里乡村人口的比例都维持在一个比较高的水平，考虑到农村的地理位置以及环境的特殊性，预计在将来的一段时间内年份 2001 2002 2003 2004 2005老龄人比例（） 7.5357 7.8970 8.2509 8.713 9.080199419951996199719981999200020012002200320042005050100150 乡乡乡乡乡乡199419951996199719981999200020012002200320042005050100150 乡乡乡乡乡乡199419951996199719981999200020012002200320042005050100150 乡乡乡乡乡乡2001 2001.5 2002 2002.5 2003 2003.5 2004 2004.5 20057.47.67.888.28.48.68.899.29.4 乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡4还将维持这种状态。这只是我们根据历史数据进行的分析在后面我们将会进行深入的研究。20012005 年市镇乡人口比例2001 2002 2003 2004 2005市 0.2420 0.2616 0.2602 0.2582 0.2772镇 0.1297 0.1255 0.1522 0.1536 0.1713乡 0.6283 0.6129 0.5876 0.5882 0.5515表 二24%13% 63%26%13% 61%26%15% 59%26%15% 59%28%17% 55%乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡图 三由表二和图三中的数据，可以看出近年来乡村人口城镇化进程持续走高，能够很清楚的感觉到国家走向现代化的步伐正在加速。这不仅是由于大量农村户口涌入城市成为城市市人口，而且也因为全国范围内很多乡村也在逐步实现城镇化，原来的农村人口就直接转变成了城市人口。上图中，我们可以看到，乡村人口仍然占据中国总人口的大多数，但近年来乡村人口所占比重在逐年下降，而城镇人口在逐年上升，并且这种趋势在逐年加强，显然人口 城镇化进程在加速。 左图表示的是在除 2000 外的十年内，市、镇、乡育龄妇年份地区1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 20052030405060708090 乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡5女生育率的千分比随年份的变 图 四 化，在上图中我们看到镇育龄妇女的生育率在 1998 年出现较大幅度的跨越，可考虑为统计数据的异常，不真实的情况故将其剔除，利用 matlab 对数据拟合、插值可以得出 2000 年市育龄妇女、镇育龄妇女、乡育龄妇女生育率的千分比分别为（33.59、27.66、48.25） 总体上可以看出妇女生育率呈现出下降的趋势，这种趋势在一段时间内还将继续，得益于国家对人口的宏观调控、以及计划生育计划实施的显著成效，自计划生育实施以来中国人口得到了明显的控制，人口素质也从根本上得到了提高。由图五可看出，乡村妇女生育年龄普遍高于城镇妇女生育年龄，乡村妇女生育年龄高峰为 23 岁左右，城镇女性生育年龄高峰为 24岁左右。这是由长期以来由于历史和传统因素所形成的意识与风俗所决定的，其导致乡村妇女婚育年龄提前于城镇女性，尤其是城市女性。图 五图 六15 20 25 30 35 40 45 50020406080100120140160180乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡0 10 20 30 40 50 60 70 80 900500100015002000250030003500 2005乡 乡 乡 乡 乡 乡 乡 乡 乡 乡乡 乡乡乡乡乡乡 乡乡 乡6四、符号说明及名词解释1、符号说明：第 t 预测周期末的人口数列矩阵tP：预测初始年分年龄分性别人口数列矩阵M：预测初始年各年龄组女性构成的一个 列矩阵K901：