完全平方公式,（x 3)( x3）,=x2,3x,3X,9,=x2,6x,多项式与多项式是如何相乘的？,9,(a+b)(m+n),=am,+an,+bm,+bn,回顾旧知平方差公式 ( a + b )( a b )=a2 - b2,那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否 也能用一个公式来表示呢？,(2x2+y)(-2x2+y),探究：计算下列各式,你能发现什么规律? (p+1)2 = (p+1) (p+1) = _ (m+2) 2 = _; (n+3)2= _; (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = _; (m-2)2 = _. (n-3)2 = _.,P2+2p+1,m2+4m+4,P2-2p+1,m2-4m+4,猜想 (a+b)2= (a -b)2=,a2+2ab+b2,a2 - 2ab+b2,n2+6n+9,n2-6n+9,你能证明你的猜想吗？,动手算一算,(a+b)2=,(a -b)2=,a2+ab+ab+b2,=a2+2ab+b2,a2-ab-ab+b2,=a2 -2ab+b2,你的猜想正确吗？,真棒！,下面就让我们一起来给这个公式起个名字！,一般地,我们有 即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.,(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.,公式特点：,4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式。,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,1、积为二次三项式；,2、积中两项为两数的平方和；,3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 间的符号相同。,首平方，尾平方，积的2倍在中央,做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空): (a+1)2=( )2+2( )( )+( )2 =( ) (2)(2a+3b)2=( )2+2( )( )+( )2 =( ),做一做:用两数差的完全平方公式计算(填空): (a-1)2=( )2+2( )( )+( )2 =( ) (2) (2a-5b)2=( )2+2( )( )+( )2 =( ),(a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b2,例1.运用完全平方公计算(x+2y)2,(x-2y)2,解: (x+2y)2=,( a+ b)2=a2+2 a b+ b2,=x2+4xy+4y2,(x - 2y )2=,(a - b )2 =a2 - 2 a b + b2,x2 - 2 x 2y +( 2y )2,x2+ 2x2y + (2y)2,=x2 - 4xy+4y2,尝试应用 1.运用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2; (2) (y- )2.,解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2(4m)n+n2 = 16m2+8mn +n2; (2) (y - )2 = y2 - 2y + ( )2 = y2-y +,2. 运用完全平方公式计算: (1) 1022 ; (2) 992 .,解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +21002 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 .,(2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -21001+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.,下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？,(x+y)2=x2 +y2,(2)(x -y)2 =x2 -y2,(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2,(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2,展示交流 1.运用完全平方公式计算: (1)(x+6)2; (2) (y-5)2; (3) (-2x+5)2; (4) ( x - y)2. （5）982 2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a b) 2 =a2 b2.,思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?,1.下列各式中与(x+1)相等的是( ) A.x+1 B.x+2x+1 C.x-2x+1 D.x-1 2.下列各式中是完全平方式的是（ ） A.x+xy+yB.y+2y+2 C.x+xy+y D.m-2m+1 3.下列计算中正确的是（ ） A. (x+2)=x+2x+4 B. (2x-y)=4x-2xy+y C. ( x-y)= x-xy+y D. (a+b)=a+b,验收成果,B,D,C,4.计算：,(1).(y-6) (2).(-1+y) (3).101 (4).(x+3)(x-3)(x-9),已知a+b=5,ab=4,求a2+b2的值，提示利用公式(a+b)2=a2+2ab+b2,又a+b=5,ab=4,(a+b)2=25；2ab=8,解 (a+b)2=a2+2ab+b2,a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a+b)2-2ab =25-8 =17,你能算出（a-b)2的值吗？,4题答案： (1) (y-6)=y-2y6+6=y-12y+36 (2) (-1+y) =(-1) +2(-1)(y)+ (y) =1-y+y (3) 101 =(100+1)=100+21001+1 =10000+200+1=10201 (4) (x+3)(x-3)(x-9) =(x-9) (x-9) = (x-9) =x4-2x9+9 =x4-18x+81,乘法公式：,(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,(a+b)(a-b)=a2-b2,平方差公式,1.当a=-b时,2.当a=b时,(a+b) 2=a2+2ab+b2,(a-b) 2=a2 - 2ab+b2,完全平方公式,(a+b),a,b,完全平方和公式：,完全平方公式 的图形理解,(a-b),a,b,完全平方差公式：,完全平方公式 的图形理解,ab,(a-b),a,b,完全平方差公式：,完全平方公式 的图形理解,完全平方公式（二）,有一位老人非 常喜欢孩子， 每当有孩子到 他家做客时， 老人都要拿出 糖果招待他们， 来一个孩子， 老人就给这个,孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，,（1） 第一天有a个男孩去了老人家，老人一共 给了这些孩子多少块糖？,（2） 第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？,（3） 第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？,（4） 这些孩子第三天得到的糖果数与前 两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？,例2. 利用完全平方公式计算： （1）1022 （2）1972,解： （1）1022=（ 100+2 ）2 = 1002+21002+22 （2）1972=（200-3）2 =2002-22003+32,100+2,100+2,200-3,200-3,练习.（两组可任选一组） 1012，982； 632，4982,例2.计算： (x+3)2-x2 (a+b+3)(a+b-3) (x+5)2-(x-2)(x-3),？,？,练习.(可任选一组） x2-(x-3) 2 ; (a-b-3)(a-b+3), (ab+1)2-(ab-1)2; (a+b+3)(a-b+3),