,第五章 大数定律及中心极限定理,1. 大数定律,大数定律是从理论上阐述频率的稳定性和 在一定条件下大量r.v.的算术平均值的稳定性.,首先要介绍r.v.序列的一种收敛性: 依概率收敛.,注:r.v.序列的依概率收敛性与数列的收敛性 是不同的。,注：大数定律就是叙述r.v.序列的依概率 收敛性的定理.,证明:,注:1. 本定理表明, n个r.v., 如果它们相互独立, 且具有有限的相同的数学期望和方差, 那么 当n很大时, 这n 个随机变量的算术平均值几 乎是一个常数, 就是它们的数学期望.,注: 本定理说明, 事件A发生的频率nA/n依概率收敛 于事件A发生的概率p, 这就以严格的数学形式表达 了频率的稳定性, 就是说, 当n很大时, 事件A发生的 频率与概率有较大的差别的可能性很小, 因而在实 际中便可以用频率来代替概率.,主要定理有独立同分布的中心极限定理,李雅 普诺夫定理,德莫佛-拉普拉斯定理等.,中心极限定理是描述在一定条件下,相互独 立的r.v.之和近似服从正态分布的有关定理.,2. 中心极限定理,定理四（ 独立同分布的中心极限定理）,定理五（ 李雅普诺夫定理）,说明:,定理六（ 德莫佛-拉普拉斯定理）,说明:,例2. 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波浪 的冲击, 纵摇角大于30的概率p=1/3, 若船舶遭受 了90000次波浪冲击, 问其中有2950030500次纵 摇角大于30的概率是多少?,例3、对于一个学生而言，来参加家长会的 家长人数是一个随机变量，设一个学生无家 长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分 别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生， 设各学生参加会议的家长数相互独立，且服 从同一分布。（1）求参加会议的家长人数 超过450人的概率；(2)求有一名家长参加会 议的学生家长数不多于340的概率。,复习题,例 装配工人装配某种零件，每只需要2分钟，但 若装配不合格就需要重装，再要用2分钟，且一 定能装好。设每个零件的装配是相互独立的，每 个零件需要重装的概率为0.3。若每个工人每天的 实际工作时间是8小时，任务是装配180个零件， 求工人每天完不成任务的概率的近近似值。,