第 6 讲一元线性回归,6.1 变量间关系的度量 6.2 一元线性回归的估计和检验 6.3 利用回归方程进行预测,学习目标,相关关系的分析 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 回归方程的显著性检验 利用回归方程进行预测 用 Excel 和SPSS进行回归,回归分析研究什么？,研究某些实际问题时往往涉及到多个变量。在这些变量中，有一个变量是研究中特别关注的，称为因变量，而其他变量则看成是影响这一变量的因素，称为自变量 假定因变量与自变量之间有某种关系，并把这种关系用适当的数学模型表达出来，那么，就可以利用这一模型根据给定的自变量来预测因变量，这就是回归要解决的问题 在回归分析中，只涉及一个自变量时称为一元回归，涉及多个自变量时则称为多元回归。如果因变量与自变量之间是线性关系，则称为线性回归(linear regression)；如果因变量与自变量之间是非线性关系则称为非线性回归(nonlinear regression),6.1 变量间的关系 6.1.1 变量间是什么样的关系 6.1.2 用散点图描述相关关系 6.1.3 用相关系数度量关系强度,第 6 讲 一元线性回归,怎样分析变量间的关系？,建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之间的关系。分析变量之间的关系需要解决下面的问题 变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？,6.1.1 变量间是什么样的关系？,6.1 变量间的关系,函数关系,是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,相关关系 (几个例子),子女的身高与其父母身高的关系 从遗传学角度看，父母身高较高时，其子女的身高一般也比较高。但实际情况并不完全是这样，因为子女的身高并不完全是由父母身高一个因素所决定的，还有其他许多因素的影响 一个人的收入水平同他受教育程度的关系 收入水平相同的人，他们受教育的程度也不可能不同，而受教育程度相同的人，他们的收入水平也往往不同。因为收入水平虽然与受教育程度有关系，但它并不是决定收入的惟一因素，还有职业、工作年限等诸多因素的影响 农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系 在一定条件下，降雨量越多，单位面积产量就越高。但产量并不是由降雨量一个因素决定的，还有施肥量、温度、管理水平等其他许多因素的影响,相关关系 (correlation),一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值对应着一个分布 各观测点分布在直线周围,6.1.2 用散点图描述相关关系,6.1 变量间的关系,散点图 (scatter diagram),用散点图描述变量间的关系 (例题分析),【例】为研究销售收入与广告费用支出之间的关系，某医药管理部门随机抽取20家药品生产企业，得到它们的年销售收入和广告费用支出(万元)的数据如下。绘制散点图描述销售收入与广告费用之间的关系,2008年8月,散点图 (销售收入和广告费用的散点图),6.1.3 用相关系数度量关系强度,6.1 变量间的关系,相关系数 (correlation coefficient),度量变量之间线性关系强度的一个统计量 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为 r或R 也称为Pearson相关系数 (Pearsons correlation coefficient) 样本相关系数的计算公式,相关系数的性质,性质1：r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关 r = 0，不存在线性相关关系 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱,相关系数的性质,性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy= ryx 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小 性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意为着， r=0只表示两个 变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系 性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系,相关系数的经验解释,|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|0.8时，可视为中度相关 0.3|r|0.5时，视为低度相关 |r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关 上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上,相关系数的显著性检验 (检验的步骤),1.检验两个变量之间是否存在线性相关关系 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量 用Excel中的【TDIST】函数得双尾计算P值，并于显著性水平比较，并作出决策 若P，拒绝H0,相关系数的显著性检验 (例题分析),【例】检验销售收入与广告费用之间的相关系数是否显著 (0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量 3. 用Excel中的【TDIST】函数得双尾P=2.743E-090.05，拒绝H0，销售收入与广告费用之间的相关系数显著,6.2 一元线性回归的估计和检验 6.2.1 一元线性回归模型 6.2.2 参数的最小二乘估计 6.2.3 回归直线的拟合优度 6.2.4 显著性检验,第 6 讲 一元线性回归,6.2.1 一元线性回归模型,6.2 一元线性回归的估计和检验,什么是回归分析？ (regression analysis),重点考察考察一个特定的变量(因变量)，而把其他变量(自变量)看作是影响这一变量的因素，并通过适当的数学模型将变量间的关系表达出来 利用样本数据建立模型的估计方程 对模型进行显著性检验 进而通过一个或几个自变量的取值来估计或预测因变量的取值,回归模型的类型,一元线性回归,涉及一个自变量的回归 因变量y与自变量x之间为线性关系 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示,一元线性回归模型 (linear regression model),描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 一元线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,一元线性回归模型 (基本假定),因变量x与自变量y之间具有线性关系 在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的 误差项 满足 正态性。 是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即 N(0 , 2 ) 。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E(y)=0+ 1x 方差齐性。对于所有的 x 值， 的方差一个特定的值，方差都相同。 独立性。独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关；对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关 总结：零均值；等方差；无自相关；与解释变量不相关；正态性假定,估计的回归方程 (estimated regression equation),总体回归参数 和 是未知的，必须利用样本数据去估计 用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程 一元线性回归中估计的回归方程为,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， 是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,6.2.2 参数的最小二乘估计,6.2 一元线性回归的估计和检验,参数的最小二乘估计 (method of least squares ),德国科学家Karl Gauss(17771855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数 使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,Karl Gauss的最小化图,x,y,(xn , yn),(x1 , y1),(x2 , y2),(xi , yi),参数的最小二乘估计 ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下,2008年8月,参数的最小二乘估计 (例题分析),【例】求销售收入与广告费用的估计回归方程 ，并解释回归系数的含义,2008年8月,参数的最小二乘估计 (例题分析),6.2.3 回归直线的拟合优度,6.2 一元线性回归的估计和检验,变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,2008年8月,误差分解图,x,y,2008年8月,误差平方和的分解 (误差平方和的关系),SST = SSR + SSE,总平方和 (SST),回归平方和 (SSR),残差平方和 (SSE),误差平方和的分解 (三个平方和的意义),总平方和(SSTtotal sum of squares) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差 回归平方和(SSRsum of squares of regression) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSEsum of squares of error) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,判定系数R2 (coefficient of determination),回归平方和占总误差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差 决定系数平方根等于相关系数,估计标准误差 (standard error of estimate),实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量 反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 计算公式为(n:观测值的个数；k:自变量的个数),6.2.4 显著性检验,6.2 一元线性回归的估计和检验,线性关系的检验,检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著 将回归均方和(MSR)同残差均方和(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 回归均方和：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k) 残差均方和：