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第九章 拉格朗日方程,运用矢量力学分析约束动力系统,未知约束力多,方程数目多,求解烦琐。能否建立不含未知约束力的动力学方程? 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合,建立动力虚功方程,广义坐标化,能量化,化为拉氏第二类方程,实现用最少数目方程,描述动力系统。,9-1 动力学普遍方程,9-1-1 方程的建立,9-1-2 典型问题,1. 一般形式,n个质点。对 有,9-1 动力学普遍方程,9-1-1 方程的建立,而双面理想约束,故有,(9-1),不论约束完整,定常与否均适用。,则有,2. 广义坐标形式,设完整约束系统有k个自由度,可取 为广义坐标。,9-1 动力学普遍方程,9-1-1 方程的建立,则,代入式(9-1), 交换 i,j次序,得,广义主动力,广义惯性力,式中,因各 线性无关 故有,(9-2),等价形式,仅,(9-3),9-1-1 方程的建立,9-1 动力学普遍方程,式中包含了惯性力虚功!,9-1-2 典型问题,加惯性力,受主动力如图。,给连杆 ,则,由 有,9-1 动力学普遍方程,1.由动能定理求导,如何求解?,2.如何求约束力?,2.已知重量 轮纯滚,水平面光滑,求三棱 柱加速度。,9-1-2 典型问题,9-1 动力学普遍方程,加惯性力,受力如图。 选 广义坐标。,由,有,又由 有,9-1 动力学普遍方程,9-1-2 典型问题,式(a)代入(b),可得,令 时,牵连惯性力 并不为零;,令 时,相对惯性力 并不为零, 两者相互独立。,9-1 动力学普遍方程,9-1-2 典型问题,3. 均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连,并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。,9-1 动力学普遍方程,9-1-2 典型问题,自由度k=2的理想约束系统,取两轮转角 为广义坐标,其受力与运动分析,如图(b)所示,,(a),有,(b),9-1 动力学普遍方程,9-1-2 典型问题,得,(c),再令,联立 (c)和(d)式,可得,9-1-2 典型问题,9-1 动力学普遍方程,对于多自由度动力系统,加上主动力和惯性力后,各独立虚位移可任意给定,与受力状态无关。,1.如何求绳的张力?圆柱纯滚的条件?,2.用动力学普遍定理如何求解?,3.计入滑轮A质量,结果有何变化?,9-1-2 典型问题,9-1 动力学普遍方程,9-2 拉格朗日方程,对于完整约束系统,动力学普遍方程为,不便计算,拉格朗日方程利用两个经典微分关系。,9-2-1 两个经典微分关系,第九章 拉格朗日方程,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2-4 拉氏方程的应用,式(9-7)表明,,可对 的分子与分母“同时消点”。,(9-7),“同时消点”,证明:,9-2-1 两个经典微分关系,9-2 拉格朗日方程,n个质点,s个完整约束,k3ns,,2) “交换关系”(求导),将式(9-6)两边对广义坐标,证明:,求偏导数,有,而,比较以上两式,可得,(9-8),式(9-8)表明,可对求导“交换关系”。,9-2 拉格朗日方程,9-2-1 两个经典微分关系,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2 拉格朗日方程,为拉式第二类方程基本形式,以t为自变量, 为未知函数的二阶常微分方程组,2k个积分常量, 需2k个初始条件 。,故,关于 的计算,由 (见下述例题中),(仅qi0时,计算所有主动力虚功) 9-2 拉格朗日方程,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2 拉格朗日方程,9-2-3 势力场中的拉氏方程,若有势主动力,引入拉格朗日函数 又称动势。 注意 ,有:,此为势力场中第二类拉氏方程,是关于k个广义 坐标的二阶常微分方程组。,则有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,应用拉格朗日方程求解受约束系统的动力问题, 首先需要判断约束是否完整,这是应用拉氏方程的 前提;其次看主动力是否有势,由此选择拉氏方程 形式。,9-2 拉格朗日方程,,,系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。 平衡位置为零势能位置,则任意x位置时,系统动势,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,1.此处势能V为什么与弹簧初始变形和重力无关?,2.试用动能定理求解例1,并比较两种方法的异同。,振动圆频率,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,本系统为完整约束, 主动力非有势,采用基本 形式的拉氏方程求解。,判断系统的自由度, 取广义坐标。,本题中,,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,计算系统的T与,则有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,代入拉氏方程,得系统的运动微分方程。,(a),(b),解方程,求加速度。,,得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,试用动力学普遍方程,动力学普遍定理,达朗贝尔原理求解例2,并比较各种方法的特点。,完整系统多自由度动力问题,采用拉氏方程,步骤规范,便于求解。拉氏方程与动力学普遍方程对于完整系统本质上一致,前者从能量,后者从受力入手考察系统的运动。,9-2 拉格朗日方程,题型特点:,9-2-4 拉氏方程的应用,9-2-4 拉氏方程的应用,9-2 拉格朗日方程,(弹簧的绝对伸长量)为广义坐标。 取系统的初始位置为零势能位置。 在任意时刻t,有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,将以上各项代入下列拉氏方程,(b),9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,(c),其中,由式(c)解得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,将式(d)代入式(c),再将式(c)和(d)代入式(b)得,顺便指出,由式(c)和(d)可知,物B相对于物A作在常力作用下的简谐振动,其振幅为,,固有频率为,多自由度完整约束保守系统问题,应用含L的拉氏 方程,不需求广义力,求解较为简便。,题型特点:,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,(b)试用质心运动定理和动能定理求解例3,并比 较各种方法特点。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,3.两个相同单摆,用刚度为k的弹簧连接已知 m,k, l ,a,系统静止时,弹簧无变形,不计杆重试求 系统振动微分方程及固有频率。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,自由度为2,选 为广义坐标,,选平衡位置势能为0,则,( 较小时, ),9-2-4 拉氏方程的应用,9-2 拉格朗日方程,而,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,代入 和 中,有,即,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,方程(b)有非0解条件,即频率方程为,即 (c),为系统的主频率,将 分别代入式(b),得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,即 ,为系统的第一主振型, 振动时弹簧不变形。,两振型图如下:,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,4. 1,2,3,4刚性杆长均为a,可不计质量。均质刚杆AB长 ,质量为2m,C,D 小球质量均为m,求微小运动微分方程及3,4杆相对运动。,系统为定常理想完整保守系统。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,而,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,( a ),并设 得,同理可得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,9-3-1 广义动量积分(守恒),完整、理想约束、保守系统,若L中不含qr,则qr叫循环坐标,且有,即 常数,循环积分,广义动量守恒。,即,如在重力场中质点质量为m,取x、y、z为广义坐标,,可见x、y为循环坐标,则有,第九章 拉格朗日方程,如图所示,质量为 的某行星A受太阳的引力 , 为太阳质量,G为万有引力常数,r为 极坐标的极轴, 为其单位矢。试写出行星作平面曲 线运动的循环积分。,该系统有二个自由度。 选 为广义坐标,,质点受重力沿 方向,在x和y方向均为动量守恒。,9-3-1 广义动量积分(守恒),第九章 拉格朗日方程,可见L中不显含 ,即 是循环坐标,则有循环积分。,常数,该广义动量积分表明,行星A对点O的动量矩守恒。,若选x、y为广义坐标, 有无循环积分?,问:,9-3-1 广义动量积分(守恒),第九章 拉格朗日方程,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),定常、完整、理想约束保守系统,(n个质点),k个自由度有:,则有,故,第九章 拉格朗日方程,(1),而,则,由Euler公式,若 为 的m次齐次函数,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,故,=2T(T为 的二次齐次函数),将式(2)代入式(1),得,故 常数,此即拉氏方程能量积分,表明上述系统机械能守恒。,即,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,选x和为广义坐标。,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,故有循环积分, 常数(初始为0),又,约束定常,且完整理想。,即 (b),x方向广义动量守恒,并非系统x方向动量。,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,时,(a),(b)两式为,解之得,1. 若接触平面光滑(f=0),结果如何? 2. 若左边连接一水平弹簧(k),结果又如何?,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,系统保守且约束完整、定常,自由度为2,取 与 为广义坐标。设圆轮角速度为 ,则从轮C的速度 分析,有 。,因L不含 (其中 为循环坐标), 故相应的广义动量守恒, 并考虑到 时,,设O为零势能位置,系统动势为,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,此处利用拉氏方程的循环 积分,使问题求解大为简化。,即,对t积分,并注意到 时, ,,得,故,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,解出 和 ,再积分, 可得 和 的变化规律。,该约束定常,故有T+V=常数,即,将此式与例2中(a)式联立,,如何求上述 和 的变化规律,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,3. 两等长均质杆水平悬挂,已知m、l ,AC=OB, 求BD绳断瞬间,O处约束力。,绳断瞬时,加速度如图,先研究CD杆。,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,如何求CD杆内力?,由,由,由,从D端任取x段,加惯性力,复力如图。,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,初瞬时间,,可直接加惯性力求解,类似,题型特点:,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,
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