二元一次方程和一次函数教学案例灵寿县初级中学 李慧丽一、教学目标：1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系；2、在学生思考和操作中，理解把握二元一次方程的图象解法，培养学生数、形结合意识和能力。二、教学重点：二元一次方程和一次函数关系及二元一次方程的图象解法。三、教学难点：方程与函数之间的对应关系。四、教学过程：(一)回顾与思考 投 影 回忆： “x+y=5”是什么方程？ 它的解有多少个？你能说出它的几个解来吗？投 影操作：请画出一次函数y=5-x的图象，你是怎样画的？与同伴交流。 （二）探究二元一次方程和一次函数图象之间关系师满足关系式y=5-x的x，y所有对应点（x ,y）在同一条直线上。这是真的吗？不妨，我们在电脑上来做一做。（电脑演示） 投 影 思考2： 满足关系式y=5-x的x，y所有对应的点（x ,y）都在直线上。反之,是不是这条直线上的所有点的坐标都满足这个关系式呢?请举例验证。师 再如，（电脑演示）在直线上任取两点A、B，它们所对应的点的坐标分别为 将这两组值 代入直线方程能使方程成立。由此我们得到如下结论：投 影 结论： 二元一次方程和一次函数的图象有如下关系：反之，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程。一次函数代数表达式与它的图象是一一对应的。（三）探索二元一次方程组的图象解法投 影做做、说说：在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5-x和y=2x-1的图象，这两个图象有交点吗？交点坐标与方程组 的解有什么关系？说说理由。师 指导同位同学分工合作：一个同学画图象，另一个同学解方程组并进行小组交流讨论。投 影 思考3：（1）两条直线在什么条件下组成相应的方程组无解？（2）一个二元一次方程组对应一个解，反之，一个解只能对应一个二元一次方程组吗？为什么？ 投 影 解二元一次方程组新的方法图象法。投 影 例题： 用作图象的方法解方程组 师 用图象法解二元一次方程组，应该分几个步骤进行？投 影 解：由 可得同理，由 ，可得在同一直角坐标系内作出一次函数 的图象l1和 的图象l2，如图所示，观察图象，得l1，l2的交点为P（2，2）。（四）巩固练习1、用作图象的方法解下列方程组： (1) （2） 2、图中的两直线l1，l2交点坐标可以看作方程组 的解。师 此题与第一道题相比，有什么不同？师 根据前面所学，如果我们能求出这两条直线的函数表达方式，那么它们所对应的方程组也就被确定了。根据图象，能求出它们的函数表达式吗？3、如图，l甲 、 l乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）匀速行走的路程S与时间T的关系，观察图象并回答下列问题。(1)乙出发时,与甲相距 千米;(2)走了一段路程后,乙的自行车发生故障,停下来修理,修车的时间为 时; (3)乙从出发起,经过 时与甲相遇; (4)甲行走的路程s(千米)与时间t(时)之间的函数关系式是 ； 提 问第小题：你是怎样看的？第小题：什么？为（师画线段图加以解释）第小题：如何求？第小题：“不出故障”意味什么？它的图象应该是什么样子？由图象直接得到的解是什么？此解精确吗？要想得到精确的解，如何做？投 影 讨论：二元一次方程组图象解法与代数解法，哪一种方法优越？在实际情境中如何选择的？（五）探究活动（六）小结收获（七）课后书面作业 七、教学反思 这节课以“回顾、联想”为先导，以“操作、思考”为手段，以“数、形结合”为要求，以“引导探究”为主线，处处呈现出师生互动、生生互动的景象，较好地体现了新的课程理念与要求。具体地说：（一）从旧知引入，自然过渡、不落痕迹。教学一开始，首先提出学生所熟知的二元一次方程并讨论其解的个数，为后面探究二元一次方程与一次函数之间的关系作了必要的准备；接着对方程进行变形，巧设一个“联想”自然转换到一次函数，并对一次函数图象画法的讨论，进入新课第一个环节探究二元一次方程与一次函数的关系。结构安排自然、紧凑。（二）在操作中，提出问题、深化认识。一切知识来自于实践。只有实践，才能发现问题、提出问题；只有实践，才能把握知识、深化认识。为此，教者先让学生画出一次函数的图象，在画图的过程中发现：“以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上。”接着引导学生反思：“一次函数图象上的点坐标都适合相应的二元一次方程吗？”通过举例，验证了自己的猜想，得出了结论。同样，在应用结论探索一元二次方程组的图象解法时，也是在操作中来发现问题。这样，就给了学生充分体验、自主探索知识的机会；使他们在自主探索、合作交流中找到了快乐，深化了认识。（三）以能力培养为核心，引导探究为主线，数、形结合为要求。能力培养，特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点。能力培养是以自主探究为平台。“自主”不是一盘散沙，“探究”不是漫无边际。要提高探究的质量和效益必须在教师的引导下进行。为达到这一目的，教案中设计了“联想”“反思”和三个“思材是个案不是教案。新课程理念指出：教师是课程的研究者和开发者。这就要求我们：在新课程标准的指导下，认真研究教材，体会教材的编写意图。在此基础上，设计出既体现课程精神，又适合本班学生实际的教学案例。本教案对原教材的内容进行了一些调整，增添许多内容，更能体现探究的特色，其教学效果较好。